Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l1：y＝x+b與x軸交于點A，與y軸交于點B，且點C的坐標為（4，﹣4）．

（1）點A的坐標為　 　，點B的坐標為　 　；（用含b的式子表示）

（2）當b＝4時，如圖所示．連接AC，BC，判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；

（3）過點C作平行于y軸的直線l2，點P在直線l2上．當﹣5＜b＜4時，在直線l1平移的過程中，若存在點P使得△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請直接寫出所有滿足條件的點P的縱坐標．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2b，0），（0，b）；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由見解析；（3）存在，滿足條件的點P坐標為（4，﹣）或（4，8）或（4，﹣12），理由見解析

【解析】

（1）由待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）△ABC是等腰直角三角形．根據(jù)兩點間距離公式以及勾股定理的逆定理即可判斷；

（3）分三種情形①如圖2中，當AB＝AP，∠BAP＝90°，設直線l2交x軸于N．設OB＝m，則OA＝2m，理由全等三角形的性質(zhì)，構建方程解決問題．②如圖3中，當AB＝AP′，∠BAP′＝90°時，設OB＝m，OA＝2m，理由全等三角形的性質(zhì)構建方程解決問題．③如圖3中，當AB＝PB，∠ABP＝90°時，同法可得.

解：（1）對于直線y＝x+b，令x＝0，得到y＝b，令y＝0，得到x＝﹣2b，

∴A（﹣2b，0），B（0，b）

故答案為（﹣2b，0），（0，b）；

（2）△ABC是等腰直角三角形．

理由：∵b＝4，

∴A（﹣8，0），B（0，4），∵C（4，﹣4），

∴AB＝，

∴AB＝BC，

∵AB2+BC2＝（4）2+（4）2＝160，AC2＝160，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴∠ABC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）①如圖2中，當AB＝AP，∠BAP＝90°，設直線l2交x軸于N．

∵OA＝2OB，設OB＝m，則OA＝2m，

由△AOB≌△PNA，可得AN＝OB＝m，PN＝OA＝2m，

∴ON＝3m＝4，

∴m＝，

∴PM＝，

∴P（4，﹣）．

②如圖3中，當AB＝AP′，∠BAP′＝90°時，設OB＝m，OA＝2m，

由△AOB≌△P′NA，可得AN＝OB＝m，P′N＝OA＝2m，

∵ON＝4＝2m﹣m，

∴m＝4，

∴P′N＝8，

∴P′（4，8），

③如圖3中，當AB＝PB，∠ABP＝90°時，同法可得P（4，﹣12）．

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（4，﹣）或（4，8）或（4，﹣12）．