Question

【題目】如圖一，拋物線過三點(diǎn)

（1）求該拋物線的解析式；

（2）兩點(diǎn)均在該拋物線上，若，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）如圖二，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，該拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為直線和上的動(dòng)點(diǎn)，求周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍：或；（3）的周長最小值為3.

【解析】

（1）將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出，即可求出關(guān)系式；

（2）可以求出點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，根據(jù)函數(shù)的增減性，可以求出當(dāng)時(shí)點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）由于點(diǎn)是的中點(diǎn)，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對稱找出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對稱點(diǎn)的直線與的交點(diǎn)，此時(shí)三角形的周長最小，周長就等于這兩個(gè)對稱點(diǎn)之間的線段的長，根據(jù)坐標(biāo)，和勾股定理可求．

解：（1）∵拋物線過三點(diǎn)

∴ 解得：；

∴拋物線的解析式為：．

（2）拋物線的對稱軸為，拋物線上與相對稱的點(diǎn)

在該拋物線上，，根據(jù)拋物線的增減性得：

∴或

答：點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍：或．

（3）∵，，

∴，，

∵是的中點(diǎn)，

∴

當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，直線與、交點(diǎn)為，此時(shí)的周長最小，周長為的長，由對稱可得到：，即點(diǎn)，

，

即：的周長最小值為3，