Question

【題目】如圖一，拋物線過三點

（1）求該拋物線的解析式；

（2）兩點均在該拋物線上，若，求點橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）如圖二，過點作軸的平行線交拋物線于點，該拋物線的對稱軸與軸交于點，連結(jié)，點為線段的中點，點分別為直線和上的動點，求周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點橫坐標(biāo)的取值范圍：或；（3）的周長最小值為3.

【解析】

（1）將三個點的坐標(biāo)代入，求出，即可求出關(guān)系式；

（2）可以求出點關(guān)于對稱軸的對稱點的橫坐標(biāo)為：，根據(jù)函數(shù)的增減性，可以求出當(dāng)時點橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）由于點是的中點，可求出點的坐標(biāo)，根據(jù)對稱找出關(guān)于直線的對稱點，連接兩個對稱點的直線與的交點，此時三角形的周長最小，周長就等于這兩個對稱點之間的線段的長，根據(jù)坐標(biāo)，和勾股定理可求．

解：（1）∵拋物線過三點

∴ 解得：；

∴拋物線的解析式為：．

（2）拋物線的對稱軸為，拋物線上與相對稱的點

在該拋物線上，，根據(jù)拋物線的增減性得：

∴或

答：點橫坐標(biāo)的取值范圍：或．

（3）∵，，

∴，，

∵是的中點，

∴

當(dāng)點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為，直線與、交點為，此時的周長最小，周長為的長，由對稱可得到：，即點，

，

即：的周長最小值為3，