Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（a，0），B（c，c），C（0，c），且滿足，P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速移動(dòng)，Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)沿y軸負(fù)方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速移動(dòng).

（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，AO和BC位置關(guān)系是；

（2）當(dāng)P、Q分別是線段AO，OC上時(shí)，連接PB，QB，使，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)∠CBQ=30°時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊?/span>OPQ和∠PQB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)（-4，-4） ,BC∥AO；（2）P（4，0）;（3）∠PQB =∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ=150°

【解析】

（1）由解出c，得到B點(diǎn)，易知BC∥AO；

（2）過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AO于E，設(shè)時(shí)間經(jīng)過(guò)t秒，AP＝2t，OQ＝t，CQ＝4-t；用t表示出與，根據(jù)列出方程解出t即可；

（3）要分情況進(jìn)行討論，①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C的上方時(shí)；過(guò)Q點(diǎn)作QH∥AO 如圖1所示，利用平行線的性質(zhì)可得到∠PQB =∠OPQ+30°；

②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C的下方時(shí)；過(guò)Q點(diǎn)作HJ∥AO 如圖2所示，同樣利用平行線的性質(zhì)可得到，∠BQP+∠OPQ=150°

(1)由得到c+4=0，得到c=-4

（-4，-4） ,BC∥AO

(2)過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AO于E

設(shè)時(shí)間經(jīng)過(guò)t秒，則AP＝2t，OQ＝t，CQ＝4-t

∵BE＝4，BC＝4，

∴·

∵

∴

解得t=2

∴AP＝2t＝4

∴P（4，0）

(3) ①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C的上方時(shí)；過(guò)Q點(diǎn)作QH∥AO 如圖一所示，

∴∠OPQ=∠PQH.

又∵BC∥AO，QH∥AO

∴QH∥BC

∴∠HQB=∠BCQ=30°.

∴∠OPQ+∠BCQ=∠PQH+∠BQH.

∴即∠PQB =∠OPQ+∠CBQ.

即∠PQB =∠OPQ+30°

②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C的下方時(shí)；過(guò)Q點(diǎn)作HJ∥AO 如圖二所示，

∴∠OPQ=∠PQJ.

又∵BC∥AO，QH∥AO

∴QH∥BC

∴∠HQB=∠BCQ=30°.

∴∠HQB+∠BQP+∠PQJ=180°，

∴30°+∠BQP+∠OPQ=180°

即∠BQP+∠OPQ=150°

綜上所述∠PQB =∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ=150°