Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知，．

求拋物線的解析式；

在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大？求出的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為或或：（3）當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，面積最大為，此時(shí)．

【解析】

把，代入列方程組即可．

先求出CD的長，分兩種情形當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)分別求解即可．

求出直線BC的解析式，設(shè)則，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解：把，代入得，

解得，，

拋物線的解析式為．

存在如圖1中，，，

，，

當(dāng)時(shí)，可得．

當(dāng)時(shí)，可得，

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．

如圖2中，

對(duì)于拋物線，當(dāng)時(shí)，，解得，

，，

由，得直線BC的解析式為，

設(shè)則，

，當(dāng)時(shí)，EF有最大值2，

此時(shí)E是BC中點(diǎn)，

當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，面積最大，

最大面積，此時(shí)．