【題目】將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ度,并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍,得△AB′C′,即如圖①,我們將這種變換記為[θ,n].
(1)如圖①,對△ABC作變換[60°,]得△AB′C′,則S△AB′C′:S△ABC= ;直線BC與直線B′C′所夾的銳角為 度;
(2)如圖②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,對△ABC 作變換[θ,n]得△AB'C',使點B、C、C′在同一直線上,且四邊形ABB'C'為矩形,求θ和n的值;
(3)如圖③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=l,對△ABC作變換[θ,n]得△AB′C′,使點B、C、B′在同一直線上,且四邊形ABB'C'為平行四邊形,求θ和n的值.
【答案】(1) 3;60(2)60°,2(3)72°,
【解析】解:(1) 3;60。
(2)∵四邊形 ABB′C′是矩形,∴∠BAC′=90°。
∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°.
在 Rt△AB B' 中,∠ABB'=90°,∠BAB′=60°,∴∠AB′B=30°。
∴AB′=2 AB,即。
(3)∵四邊形ABB′C′是平行四邊形,∴AC′∥BB′。
又∵∠BAC=36°,∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°。
∴∠C′AB′=∠BAC=36°。
而∠B=∠B,∴△ABC∽△B′BA。∴AB:BB′=CB:AB。
∴AB2=CBBB′=CB(BC+CB′)。
而 CB′=AC=AB=B′C′,BC=1,∴AB2=1(1+AB),解得,。
∵AB>0,∴
(1)根據(jù)題意得:△ABC∽△AB′C′,
∴S△AB′C′:S△ABC=,∠B=∠B′。
∵∠ANB=∠B′NM,∴∠BMB′=∠BAB′=60°。
(2)由四邊形 ABB′C′是矩形,可得∠BAC′=90°,然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC,即可求得θ的度數(shù),又由含30°角的直角三角形的性質(zhì),即可求得n的值。
(3)由四邊形ABB′C′是平行四邊形,易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°,又由△ABC∽△B′BA,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,易得AB2=CBBB′=CB(BC+CB′),繼而求得答案
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【題目】直線y=2x﹣2與x軸交于點A,與y軸交于點B.
(1)求點A,B的坐標;
(2)畫出直線AB,并求△OAB的面積;
(3)點C在x軸上,且AC=AB,直接寫出點C坐標.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AD是⊙O直徑,E是CB延長線上一點,且∠BAE=∠C.
(1)求證:直線AE是⊙O的切線;
(2)若∠BAE=30°,⊙O的半徑為2,求陰影部分的面積;
(3)若EB=AB,cos∠E=,AE=24,求EB的長及⊙O的半徑.
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【題目】如圖,已知正比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖象與x軸相交所成的銳角為70°,定點A的坐標為(0,8),P為y軸上的一個動點,M、N為函數(shù)y=kx(k>0)的圖象上的兩個動點,則AM+MP+PN的最小值為( 。
A. 4 B. 4 C. 8sin40° D. 8sin20°(1+cos20°+sin20°cos20°)
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【題目】矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內(nèi)部,點E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長為數(shù)___________.
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【題目】在△ABC中,AB=AC,點D是直線BC上一點(不與B、C重合),以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE.
(1)如圖1,當點D在線段BC上,如果∠BAC=90°,則∠BCE=_____度;如圖2,當點D在線段BC上,如果∠BAC=60°,則∠BCE=______度.
(2)設(shè)∠BAC=α,∠BCE=β,如圖3,當點D在線段BC上移動,則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c過點A(0,2).
(1)若點(﹣,0)也在該拋物線上,求a,b滿足的關(guān)系式;
(2)若該拋物線上任意不同兩點M(x1,y1),N(x2,y2)都滿足:當x1<x2<0時,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;當0<x1<x2時,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原點O為心,OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B,C,且△ABC有一個內(nèi)角為60°.
①求拋物線的解析式;
②若點P與點O關(guān)于點A對稱,且O,M,N三點共線,求證:PA平分∠MPN.
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【題目】目前我國建立了比較完善的經(jīng)濟困難學生資助體系.某校去年上半年發(fā)放給每個經(jīng)濟困難學生389元,今年上半年發(fā)放了438元,設(shè)每半年發(fā)放的資助金額的平均增長率為,則下面列出的方程中正確的是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知:等邊△ABC中,點E為△ABC內(nèi)一點.
(1)如圖1,聯(lián)結(jié)AE、BE并延長分別與BC、CA邊交于點D、F。如果∠AEB=120°,求證:△ABD△BCF。
(2)如圖2、以AE為一邊作等邊△AEF,聯(lián)結(jié)BE、CF,求證:BE=CF.
(3)如圖3、點D為BC的中點,聯(lián)結(jié)BE、CE,若∠BEC=120°,聯(lián)結(jié)AE、DE,求證:AE=2DE.
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