【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC的角平分線AD交BC于E,交△ABC的外接圓⊙O于D.
(1)求證:△ABE∽△ADC;
(2)請(qǐng)連接BD,OB,OC,OD,且OD交BC于點(diǎn)F,若點(diǎn)F恰好是OD的中點(diǎn).求證:四邊形OBDC是菱形.

【答案】
(1)證明:∵∠BAC的角平分線AD,

∴∠BAE=∠CAD,

∵∠ABC=∠ADC,

∴△ABE∽△ADC


(2)證明:∵∠BAD=∠CAD,

∵OD為半徑,

∴DO⊥BC(垂徑定理),

∵F為OD的中點(diǎn),

∴OB=BD,OC=CD,

∵OB=OC,

∴OB=BD=CD=OC,

∴四邊形OBDC是菱形.


【解析】(1)根據(jù)圓周角定理求出∠B=∠D,根據(jù)相似三角形的判定推出即可;(2)根據(jù)垂徑定理求出OD⊥BC,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出OB=BD,OC=CD,根據(jù)菱形的判定推出即可.
【考點(diǎn)精析】掌握菱形的判定方法和圓周角定理是解答本題的根本,需要知道任意一個(gè)四邊形,四邊相等成菱形;四邊形的對(duì)角線,垂直互分是菱形.已知平行四邊形,鄰邊相等叫菱形;兩對(duì)角線若垂直,順理成章為菱形;頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】【問(wèn)題情境】

△ABC中,AB=AC,點(diǎn)PBC所在直線上的任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)PPD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別為D、E,過(guò)點(diǎn)CCF⊥AB,垂足為F.當(dāng)PBC邊上時(shí)(如圖1),求證:PD+PE=CF

證明思路是:如圖2,連接AP,由△ABP△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得:PD+PE=CF.(不要證明)

【變式探究】

當(dāng)點(diǎn)PCB延長(zhǎng)線上時(shí),其余條件不變(如圖3.試探索PD、PECF之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題:

【結(jié)論運(yùn)用】

如圖4,將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上,點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處,點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)PPG⊥BE、PH⊥BC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值;

【遷移拓展】

在直角坐標(biāo)系中.直線l1y=與直線l2y=2x+4相交于點(diǎn)A,直線l1、l2x軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C.點(diǎn)P是直線l2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)P到直線l1的距離為1.求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列結(jié)論:w

①若a+b+c=0,且abc≠0,則方程a+bx+c=0的解是x=1;

②若a(x﹣1)=b(x﹣1)有唯一的解,則a≠b;

③若b=2a,則關(guān)于x的方程ax+b=0(a≠0)的解為x=﹣;

④若a+b+c=1,且a≠0,則x=1一定是方程ax+b+c=1的解;

其中結(jié)論正確個(gè)數(shù)有( )

A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)

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【題目】如圖,在菱形ABCD中,邊長(zhǎng)為10,A=60°,順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn),可得四邊形A1B1C1D1;順次連結(jié)四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn),可得四邊形A2B2C2D2;順次連結(jié)四邊形A2B2C2D2各邊中點(diǎn),可得四邊形A3B3C3D3;按此規(guī)律繼續(xù)下去…則四邊形A2B2C2D2的周長(zhǎng)是 ;四邊形A2015B2015C2015D2015的周長(zhǎng)

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①求BD和AD的長(zhǎng);
②求tanC的值.

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(1)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數(shù)字之積最大,最大值是________.

(2)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數(shù)字之差最小,最小值是________.

(3)從中取出4張卡片,將這4個(gè)數(shù)字進(jìn)行加、減、乘、除或乘方等混合運(yùn)算,使結(jié)果為24,請(qǐng)寫(xiě)出一種符合要求的運(yùn)算式子________.(注:4個(gè)數(shù)字都必須用到且只能用一次.)

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(1)求線段AB的長(zhǎng)|AB|;

(2)設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,當(dāng)|PA|﹣|PB|=2時(shí),求x的值;

(3)若點(diǎn)PA的左側(cè),M、N分別是PA、PB的中點(diǎn),當(dāng)PA的左側(cè)移動(dòng)時(shí),下列兩個(gè)結(jié)論:

①|(zhì)PM|+|PN|的值不變;②|PN|﹣|PM|的值不變,其中只有一個(gè)結(jié)論正確,請(qǐng)判斷出正確結(jié)論,并求其值.

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【題目】如圖是函數(shù)y=與函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象,點(diǎn)P是y=的圖象上一動(dòng)點(diǎn),PAx軸于點(diǎn)A,交y=的圖象于點(diǎn)C,PBy軸于點(diǎn)B,交y=的圖象于點(diǎn)D.

(1)求證:D是BP的中點(diǎn);

(2)求四邊形ODPC的面積.

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