Question

15．如圖，已知銳角△ABC中，邊BC長(zhǎng)為6，高AD長(zhǎng)為8，兩動(dòng)點(diǎn)M，N分別在邊AB、AC上滑動(dòng)，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x．
（1）若正方形MPQN的頂點(diǎn)P、Q在邊BC上，求MN的長(zhǎng)；
（2）設(shè)正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y（y＞0），當(dāng)x是多少時(shí)，公共部分的面積y最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到△AMN∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別計(jì)算出三種情況下公共部分的面積，比較即可．

解答 解：（1）如圖1，∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{8-x}{8}$，
解得，x=$\frac{24}{7}$，即MN的長(zhǎng)為$\frac{24}{7}$；
（2）公共部分分三種情況，
在三角形內(nèi)部、一邊在BC上，正方形一部分在三角形的外部，
顯然在內(nèi)部的面積比剛好在邊上時(shí)要小，所以比較后兩種情形時(shí)的面積大小，
當(dāng)PQ在BC邊上時(shí)，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積y=（$\frac{24}{7}$）²=$\frac{576}{49}$，
當(dāng)PQ在△ABC的外部時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)x的范圍是$\frac{24}{7}$＜x＜6，
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{8-KD}{8}$，
解得，KD=8-$\frac{4}{3}$x，
∴公共部分的面積y=x×（8-$\frac{4}{3}$x）=-$\frac{4}{3}$x²+8x=-$\frac{4}{3}$（x-3）²+12，
當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=$\frac{24}{7}$時(shí)，公共部分的面積最大，最大值是$\frac{576}{49}$，
則當(dāng)x是$\frac{24}{7}$時(shí)，公共部分的面積y最大，最大值是$\frac{576}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．