【題目】如圖,已知是⊙的直徑,弦與交于點(diǎn),過點(diǎn)作⊙的切線與的延長線交于點(diǎn), 交直線于點(diǎn).
()若,求證: 是⊙的切線;
()如果, 且為的中點(diǎn),求直徑的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)24.
【解析】試題分析:(1)連接OC,因AC=BC,OA=OB,根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得OC⊥AB,再由CG∥AB,即可得OC⊥CG,結(jié)論得證;(2)連接BC,由AF為圓O的切線,利用切線的性質(zhì)得到AB與AF垂直,可得出∠DAF與∠DAB互余,再由D為EF的中點(diǎn),利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半及中點(diǎn)的定義得到AD=DE=DF,利用等邊對等角得到∠DAF=∠AFC,又AB為圓的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,可得出∠ACB為直角,即∠ECB與∠FCA互余,再由同弧所對的圓周角相等得到∠ECB=∠DAB,利用等角的余角相等可得出∠DAF=∠FCA,等量代換可得出∠FCA=∠AFC;過C作CH⊥AB,垂足為H,又AF⊥AB,利用平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行,得到AF∥CG,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對角相等,再由對頂角相等,利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得△AEF∽△HEC,由相似得比例列出比例式,由DF=DE及DE與EC的比值,求出CE與EF的比值,可得出AF:CH的值,又AF=AC,進(jìn)而確定出AC與CH的比值,利用銳角三角形函數(shù)定義求出cos∠CAB的值,在直角△ABC中,由AC的長及cos∠CAB的值,利用銳角函數(shù)定義即可求出AB的長.
試題解析:
(1)連接OC,
∵AC=BC,OA=OB,
∴OC⊥AB,
∵CG∥AB,
∴OC⊥CG,
∴是⊙的切線;
(2)連接BC,AD.
∵AF為⊙O的切線,
∴AF⊥AB,即∠DAF+∠DAB=90°,
∵D為EF的中點(diǎn),
∴DF=DE=AD,
∴∠DAF=∠AFC,
∵∠DAF=∠ACF,
∴∠FCA=∠AFC;
過C作CH⊥AB于H,
∵AF⊥AB,
∴AF∥CH,
∴∠F=∠ECH,又∠AEF=∠CEH,
∴△AEF∽△HEC,
∴AF:CH=AE:EH=EF:EC,
∵DE=CE,DF=DE,
∴CE:FE=2:3,
∴CH:AF=2:3,
∵∠FCA=∠AFC,
∴AF=AC=8 ,
Rt△ACH中,CH:AC=2:3,
∴cos∠CAB=,
在Rt△ACB中,AC=8,
∴AB==24.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠1+∠2=180o, ∠3=∠B,試說明∠DEC+∠C=180o.請完成下列填空:
解:∵∠1+∠2=180o(已知)
又∵∠1+∠4=180o(平角定義)
∴∠2=∠4(________)
∴______∥______(_________)
∴∠3 = ∠ADE(__________)
又∵∠3=∠B(已知)
∴∠ADE=∠B(等量代換)
∴BC∥_____(_________)
∴∠DEC+∠C=180o(__________)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示數(shù)表是由從1 開始的連續(xù)自然數(shù)組成,觀察規(guī)律并完成各題的解答.
(1)表中第3行共有_________個(gè)數(shù),第3行各數(shù)之和是_________;
(2)表中第8行的最后一個(gè)數(shù)是_________,第8行共有_________個(gè)數(shù);
(3)用含n的代數(shù)式表示:第n行的第一個(gè)數(shù)是_________,最后一個(gè)數(shù)是_________,第n行共有_________個(gè)數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】淇淇和嘉嘉在學(xué)習(xí)了利用相似三角形測高之后分別測量兩個(gè)旗桿高度.
(1)如圖1所示,淇淇將鏡子放在地面上,然后后退直到她站直身子剛好能從鏡子里看到旗桿的頂端E,測得腳掌中心位置B到鏡面中心C的距離是50cm,鏡面中心C距離旗桿底部D的距離為4m,已知淇淇同學(xué)的身高是1.54m,眼睛位置A距離淇淇頭頂?shù)木嚯x是4cm,求旗桿DE 的高度.
如圖2所示,嘉嘉在某一時(shí)刻測得 1 米長的竹竿豎直放置時(shí)影長2米,在同時(shí)刻測量旗桿的影長時(shí),旗桿的影子一部分落在地面上(BC),另一部分落在斜坡上(CD),他測得落在地面上的影長為10米,落在斜坡上的影長為米,∠DCE=45°,求旗桿AB的高度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,延長平行四邊形的邊到點(diǎn),使,連接交于點(diǎn).
(1)求證: ≌.
(2)連接、,若,求證四邊形是矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,,點(diǎn)G,H分別在邊AB,DC上,且HA=HG,點(diǎn)E為AB邊上的一個(gè)動點(diǎn),連接HE,把△AHE沿直線HE翻折得到△FHE.
(1)如圖1,當(dāng)DH=DA時(shí),
①填空:∠HGA= 度;
②若EF∥HG,求∠AHE的度數(shù),并求此時(shí)a的最小值;
(2)如圖3,∠AEH=60°,EG=2BG,連接FG,交邊FG,交邊DC于點(diǎn)P,且FG⊥AB,G為垂足,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B(A在B左側(cè))兩點(diǎn), 一次函數(shù)y=-x+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C、D,與拋物線交于點(diǎn)M、N,其中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是.
(1)求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo);
(2)求拋物線的表達(dá)式以及點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(3)在平面內(nèi)存在動點(diǎn)P(P不與A,B重合),滿足∠APB為直角,動點(diǎn)P到直線CD的距離是否有最小值,如果有,請直接寫出這個(gè)最小值的結(jié)果;如果沒有,請說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與實(shí)踐
如圖1,和都是等腰直角三角形,其中,點(diǎn)在線段上.
操作發(fā)現(xiàn):如圖2,保持點(diǎn)不動,繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度(),連接與.
(1)猜想線段,之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
拓展探究:如圖3,繞點(diǎn)繼續(xù)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn),,在同一直線上時(shí),過點(diǎn)作,垂足為.
(2)求的度數(shù);
(3)直接寫出線段,,之間的的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論中,錯(cuò)誤結(jié)論有( );①三角形三條高(或高的延長線)的交點(diǎn)不在三角形的內(nèi)部,就在三角形的外部;②一個(gè)多邊形的邊數(shù)每增加一條,這個(gè)多邊形的內(nèi)角和就增加360;③兩條平行直線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角的角平分線互相平行;④三角形的一個(gè)外角等于任意兩個(gè)內(nèi)角的和;⑤在中,若,則為直角三角形;⑥順次延長三角形的三邊,所得的三角形三個(gè)外角中銳角最多有一個(gè)
A. 6個(gè)B. 5個(gè)C. 4個(gè)D. 3個(gè)
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