Question

（2013•河南）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）．雙曲線y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)F是OC邊上一點(diǎn)，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)和點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式求得k值，然后將點(diǎn)E的橫坐標(biāo)代入求得E點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)△FBC∽△DEB，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等確定點(diǎn)F的坐標(biāo)后即可求得直線FB的解析式．

解答：解：（1）∵BC∥x軸，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），
∴BC=2，
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴CD=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），
代入雙曲線y=

k

x

（x＞0）得k=1×3=3；
∵BA∥y軸，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，為2，
∵點(diǎn)E在雙曲線上，
∴y=

3

2

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，

3

2

）；

（2）∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，

3

2

），B的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），
∴BD=1，BE=

3

2

，BC=2
∵△FBC∽△DEB，
∴

CF

DB

=

BC

EB

即：

CF

1

=

2

3 2

∴FC=

4

3

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，

5

3

）
設(shè)直線FB的解析式y(tǒng)=kx+b
則

2k+b=3 b= 5 3

解得：k=

2

3

，b=

5

3

∴直線FB的解析式y(tǒng)=

2

3

x+

5

3

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及矩形的性質(zhì)，解題時注意點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長的相互轉(zhuǎn)化．