Question

【題目】已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的頂點D，C點在DE上，且∠ADC=∠EDG，連接AE，CG，如圖1．

(1)試猜想AE與CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系(直接寫出關(guān)系，不用證明)；

(2)將菱形DEFG繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在BC邊上，如圖2，連接AE和CG．你認為(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，如果∠ADC=∠EDG=90°，如圖3，你認為AE和CG是否垂直?若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（1）中的結(jié)論仍成立，證明過程見解析；（3）AE和CG垂直，證明過程見解析．

【解析】

（1）通過菱形的邊相等和∠ADC=∠EDG證明△ADE△CDG，即可得到AE與CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系；

（2）與（1）的做法類似，證△ADE△CDG，得出線段之間的關(guān)系；

（3）延長AE，GC交于P點，結(jié)合三角形全等，求得∠P=90°，從而得到兩直線垂直.

（1）∵四邊形ABCD和DEFG是菱形，

∴DA=DC,DE=DG,

又∵∠ADC=∠EDG

∴△ADE△CDG

∴；

（2）（1）中的結(jié)論仍成立，證明如下：

∵四邊形ABCD和DEFG是菱形，

∴DA=DC,DE=DG,

又∵∠ADC=∠EDG，

∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC，即∠ADE=∠CDG，

∴△ADE△CDG

∴；

（3）AE和CG垂直.

延長AE，GC交于P點，由得．

又因為，

所以．

因，

所以．

所以．