Question

【題目】已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，對角線AC平分∠DCB，延長DA，CB相交于點E．
（1）如圖1，EB=AD，求證：△ABE是等腰直角三角形；

（2）如圖2，連接OE，過點E作直線EF，使得∠OEF=30°，當∠ACE≥30°時，判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵對角線AC平分∠DCB，

∴∠ACD=∠ACB，

∴=，

∴AD=AB，

∵EB=AD，

∴AB=EB，

∵∠EBA=∠ADC=90°，

∴△ABE是等腰直角三角形

（2）

解：直線EF與⊙O相離．理由如下：

∵∠DCB＜90°，∠ACD=∠ABC，

∵∠ACE≥30°，

∴60°≤∠DCE＜90°，

∴∠AEC≤30°，

∴AE≥AC，

∵OE＞AE，

∴OE＞AC，

作OH⊥EF于H，如圖，

在Rt△OEH中，∵∠OEF=30°，

∴OH=OE，

∴OH＞OA，

∴直線EF與⊙O相離．

【解析】（1）由∠ACD=∠ABC得到，則AD=AB，加上EB=AD，則AB=EB，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠EBA=∠ADC=90°，于是可判斷△ABE是等腰直角三角形
（2）由于∠ACD=∠ABC，∠ACE≥30°，則60°≤∠DCE＜90°，根據(jù)三角形邊角關系得AE≥AC，而OE＞AE，所以OE＞AC，作OH⊥EF于H，如圖，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得OH=OE，所以OH＞OA，則根據(jù)直線與圓的位置關系可判斷直線EF與⊙O相離．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．