Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE垂直于對角線AC，垂足是E，連接BE．

（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）若△ABE是等邊三角形，四邊形BCDE的面積等于2，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用兩組對角相等的四邊形是平行四邊形進行證明；

（2）設CD的長為a，則CE＝a，，DE＝a，S△CED＝a2，由面積關系可得a2+a2＝2，可求a的值，即可求CE的長．

（1）證明：∵AB∥CD，

∴∠DAB+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠DAB＝∠BCD，且∠ABC＝∠ADC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）∵△ABE是等邊三角形，

∴AB＝AE＝CD，∠BAC＝60°，

∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD＝60°，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90，

在Rt△CDE中，設CD的長為a，

則CE＝a，DE＝a，S△CED＝a2．

因為△CED與△CEB是同底等高的三角形，

∴S△CED＝S△CEB，

又∵S四邊形BCDE＝S△CED+S△CEB＝2，

∴a2+a2＝2，

∴a＝2，

∴CE＝a＝.