Question

6．如圖，點A（2，m）是雙曲線y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上的點，點B是雙曲線y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）上的點，直線AB交y軸于點C，且BC=2AC．
（1）求m的值及點B的坐標；
（2）將點B繞原點O順時針旋轉90°得到點B′，判斷點B′是否落在雙曲線y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥y軸于M，BN⊥y軸于N，利用代入法求出m的值，根據(jù)平行線的性質求出點B的坐標；
（2）證明△OBE≌△B′OF，根據(jù)全等三角形的性質求出點B′的坐標，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征解答即可．

解答 解：（1）作AM⊥y軸于M，BN⊥y軸于N，
∵點A（2，m）是雙曲線y=$\frac{6}{x}$上的點，
∴m=$\frac{6}{2}$=3，
∴點A的坐標為（2，3），即AM=2，
∵AM⊥y軸，BN⊥y軸，
∴AM∥BN，
∴$\frac{BN}{AM}$=$\frac{BC}{CA}$，即$\frac{BN}{2}$=2，
解得，BN=4，
∵點B是雙曲線y=-$\frac{6}{x}$上的點，
∴y=-$\frac{6}{-4}$=$\frac{3}{2}$，
∴點B的坐標為（-4，$\frac{3}{2}$）；
（2）作BE⊥x軸于E，B′F⊥x軸于F，
∵∠BOB′=90°，
∴∠BOE+∠B′OF=90°，又∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠B′OF=∠OBE，
在△OBE和△B′OF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B′OF=∠OBE}\\{∠B′FO=∠OEB}\\{OB′=OB}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△B′OF，
∴OF=BE=$\frac{3}{2}$，B′F=OE=4，
∴點B′的坐標為（$\frac{3}{2}$，4），
∵$\frac{3}{2}$×4=6，
∴點B′落在雙曲線y=$\frac{6}{x}$上．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、旋轉變換的性質，靈活運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、掌握旋轉變換的性質是解題的關鍵．