Question

【題目】如圖，對稱軸為x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．

①若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（1，0）；（2）①（4，21）或（﹣4，5）；②當(dāng)x=﹣時(shí)，QD有最大值．

【解析】試題分析：（1）由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）①a=1時(shí)，先由對稱軸為直線x=﹣1，求出b的值，再將B（1，0）代入，求出二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），根據(jù)S△POC=4S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值．

試題解析：解：（（1）∵對稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=﹣1對稱．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；

（2）①a=1時(shí)，∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，∴ =﹣1，解得b=2．

將B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．

則二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），OC=3．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3）．∵S△POC=4S△BOC，∴ ×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．

當(dāng)x=4時(shí)，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；

當(dāng)x=﹣4時(shí)，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）；

②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t （k≠0）將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，

得，解得，

即直線AC的解析式為y=﹣x﹣3．

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），

QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，

∴當(dāng)x=﹣時(shí)，QD有最大值．