Question

已知k是大于2的整數(shù)，拋物線y₁=x²-2x+k-2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A，直線y₂=（k-2）x+b經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)M且與拋物線交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（如圖）
（1）求y₁與y₂的函數(shù)解析式．
（2）求證：AB是△AMB的外接圓直徑．
（3）求證：∠CAM=∠MBA且CA²=CM•CB．

Answer 1

（1）解：∵拋物線y₁=x²-2x+k-2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴△＞0，即2²-4××（k-2）＞0，解得k＜4，
而k是大于2的整數(shù)，
∴k=3，
∴y₁=x²-2x+1；
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-1），
而y₂=x+b，
把M（2，-1）代入得，-1=2+b，解得b=-3，
∴y₂=x-3；

（2）證明：如圖，拋物線的對(duì)稱軸交AB與D點(diǎn)，
解方程組得或，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），
而A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴AB平行于x軸，
∴AB⊥MD，DA=DB，
∴MD=1-（-1）=2，而AB=4，
∴MD=AB，
∴△MAB為等腰直角三角形，即∠AMB=90°，
∴AB是△AMB的外接圓直徑；

（3）證明：∴AB∥x軸，
∴∠BAO=90°，
∴Rt△CAM∽R(shí)t△CBA，
∴∠CAM=∠MBA，CA：CB=CM：CA，即CA²=CM•CB．
分析：（1）拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)則△＞0，即2²-4××（k-2）＞0，而k是大于2的整數(shù)，即可得到k的值，確定拋物線的解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后把M點(diǎn)坐標(biāo)代入y₂=x+b可確定直線的解析式；
（2）先聯(lián)立拋物線與直線的解析式得到方程組，解方程組得到B點(diǎn)坐標(biāo)（4，1），于是有AB平行于x軸，易AB⊥MD，DA=DB，并且MD=AB，根據(jù)等腰直角三角形的判定方法得到△MAB為等腰直角三角形，即∠AMB=90°，再根據(jù)圓周角定理的推論即可得到結(jié)論；
（3）易證得Rt△CAM∽R(shí)t△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式以及二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-，）．也考查了等腰直角三角形和圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)．