Question

已知n是大于1的整數(shù)，
求證：n³可以寫出兩個正整數(shù)的平方差．

Answer 1

分析：由n³分解為（

n

2

）²•4n，4n還等于[（n+1）²-（n-1）²]，得出平方差公式形式，因為n是大于1的整數(shù)，得出n（n+1），n（n-1）不僅大于1，而且均能被2整除，進一步得出原命題的正確性．

解答：證明：∵n³=（

n

2

）²•4n，
=（

n

2

）²[（n+1）²-（n-1）²]，
=[

n

2

（n+1）]²-[

n

2

（n-1）]²，
∵n是大于1的整數(shù)，
∴n（n+1），n（n-1）不僅大于1，而且均能被2整除，
∴

n

2

（n+1），

n

2

（n-1）均為正整數(shù)，
因此，命題得證，n³可以寫出兩個正整數(shù)的平方差．

點評：此題主要考查了因式分解的綜合應用，n³分解出（

n

2

）²•4n，進而得出4n=[（n+1）²-（n-1）²]，這是解決問題的關鍵．