Question

如圖，在直角坐標系中，以A（

3

，0）為圓心，以2

3

為半徑⊙A與x軸交于B，C兩點，與y軸交于D，E兩點．
（1）若拋物線y=

1

3

x²+bx+c經(jīng)過C，D兩點，求拋物線的解析式；
（2）判斷點B是否在（1）中拋物線上，并畫出（1）拋物線草圖；
（3）設(shè)M為（1）中拋物線的對稱軸上的一點，在第一象限內(nèi)拋物線上是否存在這樣點P，使得四邊形CBMP是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由條件可知AC=AB=2

3

，OA=BO=

3

，在Rt△AOD中可求得OD=OE=3，可得出C、D坐標，代入可求得b和c，可求得解析式；
（2）把B點坐標代入驗證即可，再利用描點法畫圖；
（3）假設(shè)存在，設(shè)P點坐標為（t，s），當PM∥BC時，則PM=BC=4

3

，而PM=|t-

3

|可求得t的值，代入拋物線解析式可求得P點坐標，當BM∥PC時，則A為PM的中點，則P點只能在對稱軸上，即P為拋物線的頂點．

解答：解：（1）如圖1，連接AD，則AC=AD=AB=2

3

，

∵A（

3

，0），
∴AO=BO=

3

，
在Rt△OAD中，由勾股定理可求得OD=3，
且OC=3

3

，
∴C（3

3

，0），D（0，-3），
代入y=

1

3

x²+bx+c可求得c=-3，b=-

2 3

3

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3；
（2）由（1）可知B點坐標為（-

3

，0），滿足y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3，
∴B點在拋物線上，
由y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3可知該二次函數(shù)開口向上，對稱軸方程為x=

3

，與x軸的交點坐標為（-

3

，0）和（3

3

，0），與y軸的交點坐標為（0，-3），頂點坐標為（

3

，-4），
利用描點法可畫出其函數(shù)圖象，如圖2；

（3）假設(shè)存在，設(shè)P點坐標為（t，s），
由（1）可求得BC=4

3

，
當PM∥BC時，則PM=BC=4

3

如圖3，過P作PN⊥BC，交x軸于點N，

則AN=ON-OA=|t-

3

|，
又ON=PM=4

3

，即|t-

3

|=4

3

，解得t=5

3

或t=-3

3

，
代入y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3可求得s=12，
∴P點坐標為（-3

3

，12）或（5

3

，12）；
當BM∥PC時，則MP為對稱線，必過BC的中點A，則P點在對稱軸上，
∴P為二次函數(shù)的頂點，其坐標為（

3

，-4）；
綜上可知存在使得四邊形CBMP是平行四邊形的P點，其坐標為（-3

3

，12）或（5

3

，12）或（

3

，-4）．

點評：本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和垂徑定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識的綜合應用，利用待定系數(shù)法求解析式時關(guān)鍵是求出點的坐標，在（3）中確定出點P可能出現(xiàn)的位置是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應用．