Question

如圖，⊙H與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心H的坐標(biāo)是（1，-1），半徑是．
（1）求經(jīng)過點(diǎn)D的切線的解析式；
（2）問過點(diǎn)A的切線與過點(diǎn)D的切線是否垂直？若垂直，請(qǐng)寫出證明過程；若不垂直，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)過D的切線交x軸于E，設(shè)EA=x，即可表示出OE、EB的長；可分別用切割線定理及勾股定理得出DE2的表達(dá)式，聯(lián)立兩式即可求出x的值，也就得到了E點(diǎn)的坐標(biāo)；進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式；
（2）由（1）易得AB=CD，則弧AB=弧CD，由弦切角定理即可得到∠NAO=∠MDN；而∠NAO與∠ANO互余，則∠MDN也與∠ANO互余，由此得證．
解答：解：（1）設(shè)過點(diǎn)D的切線交x軸于點(diǎn)E，EA=x，
則DE²=EA•EB=x（x+4）；
又在Rt△DOE中，DE²=EO²+DO²=（x+1）²+3²，
∴（x+1）²+3²=x（x+4）；（6分）
解得x=5，即EA=5，
點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-6，0）；（7分）
設(shè)所求切線的解析式為y=kx+b，因?yàn)樗��?jīng)過（0，-3）和（-6，0）兩點(diǎn)，
則
解得
∴所求解析式為y=-x-3；（8分）

（2）過點(diǎn)A的切線與過點(diǎn)D的切線互相垂直，證明如下：（9分）
證明：設(shè)過點(diǎn)A的切線與DE相交于點(diǎn)M，與y軸相交于點(diǎn)N；
∵AB=CD=4，即有=
∴∠NAO=∠MDO；（10分）
又∵∠NAO+∠ANO=90°，
∴∠MND+∠MDN=90°；
∴過點(diǎn)A的切線與過點(diǎn)D的切線互相垂直．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了垂徑定理、勾股定理、一次函數(shù)解析式的確定、切線的性質(zhì)、切割線定理、弦切角定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，綜合性較強(qiáng)，難度較高．