Question

【題目】△ABC內(nèi)接于⊙O，AT切⊙O于點A，AB＝BC，且AT∥BC．

（1）如圖1，求證：△ABC是等邊三角形；

（2）如圖2，點M在射線AT上，連接CM交⊙O于點D，連接BD交AC于點E，AF∥CM交BC于點F，求證：AE＝CF；

（3）如圖3，在（2）的條件下，延長BA、CM交于點G，若BD＝40，CD＝25，求AG的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)21

【解析】

（1）連接AO，延長AO交BC于D，如圖1，利用切線的性質(zhì)得OA⊥BC，則AD⊥BC，利用垂徑定理可判斷AD垂直平分BC，所以AB＝AC，然后根據(jù)等邊三角形的定義可得到結(jié)論；

（2）如圖2，先利用等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，再∠1＝∠3，然后利用“ASA”可證明△ABE≌△CAF，從而得到AE＝CF；

（3）作CH⊥BD于H，如圖3，利用圓周角得到∠BDC＝∠BAC＝60°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出DH＝，CH＝，則BH＝，再利用勾股定理計算出BC＝35，接著證明△GAM∽△GBC，利用相似比得到AM＝，證明△GAM∽△BDC，利用相似比得到AM＝AG，所以＝AG，然后解方程可得到AG的長．

（1）證明：連接AO，延長AO交BC于D，如圖1，

∵AT切⊙O于點A，

∴OA⊥BC，

∵AT∥BC，

∴AD⊥BC，

∴BD＝CD，

即AD垂直平分BC，

∴AB＝AC，

而AB＝BC，

∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等邊三角形；

（2）證明：如圖2，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，

∵AF∥CM，

∴∠1＝∠2，

而∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

在△ABE和△CAF中

，

∴△ABE≌△CAF，

∴AE＝CF；

（3）解：作CH⊥BD于H，如圖3，

∵∠BDC＝∠BAC＝60°，

∴DH＝CD＝，

∴CH＝DH＝，BH＝BD﹣DH＝40﹣＝，

在Rt△BCH中，BC＝＝35，

∵AM∥BC，

∴△GAM∽△GBC，

∴＝，即＝，

∴AM＝，

∵AM∥BC，

∴∠GAM＝∠ABC＝60°，∠GMA＝∠GCB，

∴∠BDC＝∠GAM，∠DCB＝∠GMA，

∴△GAM∽△BDC，

∴＝，即＝，

∴AM＝AG，

∴＝AG，

∴AG＝21．