Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+mx+n交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A，與這條拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M（1，2），且點(diǎn)M與拋物線的頂點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y＜0時(shí)，自變量x的取值范圍；
（3）設(shè)題中的拋物線與直線的另一交點(diǎn)為C，已知P（x，y）為直線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)Q．當(dāng)-1≤x≤5時(shí)，求線段PQ的最大值及此時(shí)P坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，求△AQC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由于點(diǎn)M和拋物線頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)式函數(shù)解析式．
（2）令二次函數(shù)解析式中y=0求出x的值，確定出A與B的坐標(biāo)，利用函數(shù)圖象即可求出y小于0時(shí)x的范圍；
（3）將點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=kx+b求出k與b的值，確定直線AC的解析式，得到點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x+1），根據(jù)直線AC和拋物線的解析式，即可得到P、Q的縱坐標(biāo)，從而得到關(guān)于PQ的長(zhǎng)和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ的最大值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）由于△AQC面積=△AQP面積+△CPQ面積，根據(jù)三角形面積公式將PQ的最大值代入計(jì)算即可求解．

解答：解：（1）由題意知，拋物線頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，-2），
故其函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

（x-1）²-2=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）（2）由

1

2

x²-x-

3

2

=0，
得x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；
根據(jù)圖象得：函數(shù)值y為負(fù)數(shù)時(shí)，自變量x的取值范圍為-1＜x＜3；

（3）由（2）得：A（-1，0）、B（3，0）；
∵將A（-1，0）、M（1，2）代入y=kx+b中得：

0=-k+b 2=k+b

，
解得：

k=1 b=1

．
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1，
解方程組

y=x+1 y= 1 2 x2-x- 3 2

得x=-1或5，
即A（-1，0）、C（5，6）；
∵P（x，y），-1≤x≤5，
∴P在線段AC之間，
設(shè)P坐標(biāo)為（x，x+1），則Q的坐標(biāo)為（x，

1

2

x²-x-

3

2

，
∴PQ=（x+1）-（

1

2

x²-x-

3

2

）=-

1

2

x²+2x+

5

2

=-

1

2

（x-2）²+

9

2

，
∴當(dāng)x=2時(shí)，線段PQ有最大值

9

2

，此時(shí)P坐標(biāo)為（2，3）；

（4）△AQC面積=△AQP面積+△CPQ面積=

1

2

×PQ×6=

1

2

×

9

2

×6=

27

2

．
故△AQC面積的最大值是

27

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形面積，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．