【題目】如圖,已知直線PA交⊙O于A、B兩點,AE是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,且AC平分∠PAE,過C作CD⊥PA,垂足為D.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)若CD=2AD,⊙O的直徑為10,求線段AB的長.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
試題(1)要證CD為⊙O的切線,只要證CD垂直于對切點的半徑,故作輔助線:連接OC,由三角形三個內(nèi)角和為180°的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì),即能證出∠DCO =90°,從而得證;
(2)要求AB的長,就要考慮它是三角形中的線段或與三角形中的線段有關(guān)系,根據(jù)垂徑定理,只要作OF⊥AB,即有AB=2AF,故只要求出AF即可,由勾股定理和等量代換即可求得.
試題解析:(1)如圖,連接OC,
∵點C在⊙O上,OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.
∵CD⊥PA,∴∠CDA=90°.∴∠CAD+∠DCA=90°.
∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO.
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC="90°."
又∵點C在⊙O上,OC為⊙O的半徑,∴CD為⊙O的切線.
(2)如圖,過O作OF⊥AB,垂足為F,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°.
∴四邊形OCDF為矩形,∴OC=FD,OF=CD.
∵CD=2AD,設(shè)AD=x,則OF=CD=2x,
∵⊙O的直徑為10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x.
在Rt△AOF中,由勾股定理得.
即,化簡得:,解得或(舍去).
∴AD="2," AF=5-2=3.
∵OF⊥AB,由垂徑定理知,F為AB的中點,∴AB=2AF=6.
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【題目】如圖,在四邊形中,點從點出發(fā)以的速度沿向點勻速移動,點從點出發(fā)以的速度沿向點勻速移動,點從點出發(fā)以的速度沿向點勻速移動.點同時出發(fā),當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時,其他兩個點也隨之停止運動,設(shè)移動時間為.
(1)如圖①,
①當(dāng)為何值時,點為頂點的三角形與全等?并求出相應(yīng)的的值;
②連接交于點,當(dāng)時,求出的值;
(2)如圖②,連接交于點.當(dāng)時,證明:.
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【題目】為緩解交通擁堵,遵義市某區(qū)擬計劃修建一地下通道,該通道一部分的截面如圖所示(圖中地面AD與通道BC平行),通道水平寬度BC為8米,∠BCD=135°,通道斜面CD 的長為6米,通道斜面AB的坡度i=1:
(1)求通道斜面AB的長為多少米;
(2)為增加市民行走的舒適度,擬將設(shè)計圖中的通道斜面CD的坡度變緩,修改后的通道斜面DE的坡角為30°,求此時BE的長.(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,tanB=.半徑為2的⊙C, 分別交AC、BC于點D、E,得到 .
(1)求證:AB為⊙C的切線;
(2)求圖中陰影部分的面積.
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【題目】乘法公式的探究及應(yīng)用.
數(shù)學(xué)活動課上,老師準(zhǔn)備了若干個如圖1的三種紙片,A種紙片邊長為a的正方形,B種紙片是邊長為b的正方形,C種紙片長為a、寬為b的長方形,并用A種紙片一張,B種紙片一張,C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.
(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.
方法1:______;方法2:______.
(2)觀察圖2,請你寫出下列三個代數(shù)式:(a+b)2,a2+b2,ab之間的等量關(guān)系.______;
(3)類似的,請你用圖1中的三種紙片拼一個圖形驗證:
(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2
(4)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:
①已知:a+b=5,a2+b2=11,求ab的值;
②已知(x-2016)2+(x-2018)2=34,求(x-2017)2的值.
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【題目】課外閱讀是提高學(xué)生素養(yǎng)的重要途徑,某校為了了解學(xué)生課外閱讀情況,隨機(jī)抽查了50名學(xué)生,統(tǒng)計他們平均每天課外閱讀時間(t小時),根據(jù)t的長短分為A,B,C,D四類.下面是根據(jù)所抽查的人數(shù)繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖表,請根據(jù)圖中提供的信息,解答下面的問題:
(1)求表格中的a值,并在圖中補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(2)該校現(xiàn)有1300名學(xué)生,請你估計該校共有多少學(xué)生課外閱讀時間不少于1小時.
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【題目】如圖所示,O為直線AB上一點,OC平分∠AOE,∠DOE=90°,則以下結(jié)論正確的有____________.(只填序號)
①∠AOD與∠BOE互為余角;
②OD平分∠COA;
③∠BOE=56°40′,則∠COE=61°40′;
④∠BOE=2∠COD.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y1=k1x+b(k1≠0)的圖象分別與x軸,y軸相交于點A,B,與反比例函數(shù)y2= 的圖象相交于點C(﹣4,﹣2),D(2,4).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)x為何值時,y1>0;
(3)當(dāng)x為何值時,y1<y2,請直接寫出x的取值范圍.
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中每個小正方形邊長都是1.
(1)畫出△ABC關(guān)于直線1對稱的圖形△A1BlCl;
(2)在直線l上找一點P,使PB=PC;(要求在直線1上標(biāo)出點P的位置)
(3)連接PA、PC,計算四邊形PABC的面積.
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