Question

如圖所示，李華同學(xué)在在直角坐標(biāo)系中畫了反比例函數(shù)y=

18

x

（x＞0）的圖象，然后在雙曲線上任取一點(diǎn)A，過A作AC⊥y軸，垂足為點(diǎn)C，作AC的垂直平分線交雙曲線于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)D，連接AB、BC、CD、DA，然后不斷改變點(diǎn)A的位置．
（1）在點(diǎn)A的移動(dòng)過程中，李華發(fā)現(xiàn)，無論A點(diǎn)在雙曲線的什么位置，四邊形ABCD的面積都不變，你知道這個(gè)面積是多少嗎？請(qǐng)說明理由；
（2）經(jīng)過反復(fù)探索，他認(rèn)為四邊形ABCD始終是菱形，他的猜想正確嗎？如果正確請(qǐng)給出證明，如果不正確，說明理由；
（3）在點(diǎn)A移動(dòng)的過程中，四邊形ABCD是否可以為正方形？如果可以，寫出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果不可以，簡要說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)A（a，

18

a

），可求出B（

a

2

，

36

a

），由于對(duì)角線垂直，計(jì)算對(duì)角線長積的一半即可；
（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，判斷出對(duì)角線互相垂直平分即可；
（3）令對(duì)角線長度相等，即可計(jì)算出A點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)A（a，

18

a

），則B（

a

2

，

36

a

），
∵AC⊥BD，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•BD=

1

2

×a×

36

a

=18；
（2）∵DE=

18

a

，DB=

36

a

，
∴BD=DE，
又AE=CE，BD⊥AC，
∴四邊形ABCD始終是菱形．
（3）由（2）可知，四邊形ABCD始終是菱形，
當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形ABCD是正方形，
此時(shí)，a=

36

a

，
即a²=36，
解得a=6或a=-6（舍去），
此時(shí)A（6，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及點(diǎn)的坐標(biāo)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定等，綜合性強(qiáng)，是一道好題．