在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=
1
2
，點(diǎn)D在邊AC上（不與A、C重合），連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點(diǎn)．

（1）若過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，連結(jié)CF、EF、CE，如圖1，當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí)，求tan∠DBE的值；
（2）若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn)，如圖2所示，求證：BE-DE=2CF；
（3）若BC=3AD=6，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為BD的中點(diǎn)，則線段CF長(zhǎng)度的最大值為
 
．
考點(diǎn)：幾何變換綜合題
專題：
分析：（1）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出
DE
AE
=
BC
AC
=
1
2
，進(jìn)而利用未知數(shù)表示出DE，AE，BE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線交BD于點(diǎn)G，設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為Q．由tan∠BAC=
1
2
，得到
BC
AC
=
DE
AE
=
1
2
．證明△BCG∽△ACE，得到
BC
AC
=
GB
AE
=
1
2
．得到GB=DE，得到F是EG中點(diǎn)．于是CF=
1
2
EG，即可得到BE-DE=EG=2CF；
（3）分類討論：當(dāng)AD=
1
3
AC時(shí)，取AB的中點(diǎn)M，連接MF和CM，tan∠BAC=
1
2
，且BC=6，計(jì)算出AC=12，AB=6
5
．M為AB中點(diǎn)，則CM=3
5
，F(xiàn)M=
1
2
AD=2．當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大，此時(shí)CF=CM+FM=2+3
5
；當(dāng)AD=
2
3
AC時(shí)，取AB的中點(diǎn)M，連接MF和CM，類似于情況1，可知CF的最大值為4+3
5
．即可得到線段CF長(zhǎng)度的最大值．
解答：解：（1）設(shè)DE=x，
∵DE⊥AB，tan∠BAC=
1
2
，
∴
DE
AE
=
BC
AC
=
1
2
，
故AE=2x，則AD=
5
x，
∵D為AC中點(diǎn)，
∴AC=2
5
x，
則BC=
5
x，
由勾股定理得出：AB=5x，
則BE=3x，
故tan∠DBE的值為：
DE
BE
=
x
3x
=
1
3
；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線交BD于點(diǎn)G，設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為Q．
由題意，tan∠BAC=
1
2
，
∴
BC
AC
=
DE
AE
=
1
2
．
∵D、E、B三點(diǎn)共線，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴
BC
AC
=
GB
AE
=
1
2
．
∴GB=DE．
∵F是BD中點(diǎn)，
∴F是EG中點(diǎn)．
在Rt△ECG中，CF=
1
2
EG，
∴BE-DE=EG=2CF；

（3）情況1：如圖3，當(dāng)AD=
1
3
AC時(shí)，取AB的中點(diǎn)M，連接MF和CM，
∵∠ACB=90°，tan∠BAC=
1
2
，且BC=6，
∴AC=12，AB=6
5
．
∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，
∴CM=3
5
，
∵AD=
1
3
AC，
∴AD=4
．∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，
∴FM=
1
2
AD=2．
如圖4：當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大，
此時(shí)CF=CM+FM=2+3
5
．
情況2：如圖5，當(dāng)AD=
2
3
AC時(shí)，取AB的中點(diǎn)M，連接MF和CM，
類似于情況1，可知CF的最大值為4+3
5
．
綜合情況1與情況2，可知當(dāng)點(diǎn)D在靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，線段CF的長(zhǎng)度取得最大值為：4+3
5
．
故答案為：4+3
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，-2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　�。�
A、（3，2）
B、（3，-2）
C、（-3，2）
D、（-3，-2）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1，0）．
（1）畫出△ABC，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的三角形△A′B′C′；
（2）將三角形A、B、C繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出圖形，直接寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）請(qǐng)直接寫出：以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

彈簧掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng)，已知一彈簧的長(zhǎng)度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x（kg）之間的關(guān)系如下表
所掛物體的質(zhì)量x（kg）0123456
彈簧的長(zhǎng)度（cm）1111.51212.51313.514
（1）根據(jù)上表寫出y與x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為3.5kg時(shí)，根據(jù)（1）的關(guān)系式，求彈簧的長(zhǎng)度．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

解不等式組
5x-9＜3(x-1)
1-
3
2
≤
1
2
x-1
，并寫出它的整數(shù)解．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）解方程組
3x+4y=2
2x-y=5
；
（2）求不等式組
1-3(x-1)＜8
x-3
2
+3≥x+1
的整數(shù)解．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知DE∥AB，DF∥AC，
（1）試證∠A=∠EDF；
（2）利用平行線的性質(zhì)，求∠A+∠B+∠C的度數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算|
3
-2|-
12
×tan60°+2cos30°+（
1
2
）-1．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將Rt△ABC和Rt△DEF按如圖①擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．△ABC沿EF所在直線以每秒1 個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，AC邊與折線ED-DF的交點(diǎn)為P，如圖②．當(dāng)△ABC的邊AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．已知∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=4，BC=3，EF=6．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在ED邊上時(shí)，AP的長(zhǎng)為
 
（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)邊AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，求t的值．
（3）設(shè)△ABC與△DEF的重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系．
（4）在△ABC運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，沿B-A-B以每秒2個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ABC停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止．
①當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，求t的值．
②當(dāng)以A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形APGQ為菱形時(shí)，直接寫出菱形APGQ的周長(zhǎng)．

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