Question

【題目】水平地面上有一個(gè)圓形水池，直徑AB長(zhǎng)為6m，長(zhǎng)為m的一旗桿AC垂直于地面（AC與地面上所有直線都垂直）．

（1）若P為弧AB的中點(diǎn)，試說(shuō)明∠BPC=90°

（2）若P弧AB為上任意一點(diǎn)（不與A、B重合），∠BPC=90°還成立嗎，為什么？

（3）弧AB上是否存在點(diǎn)P使△PAB與△PAC相似，若存在求的值，不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）存在，或

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理可得∠APB＝90°,根據(jù)線面垂直定理可得PB⊥面PAC，繼而求證；

（2）成立，根據(jù)圓周角定理可得∠APB＝90°,根據(jù)線面垂直定理可得PB⊥面PAC，繼而得出結(jié)論；

（3）分兩種情況討論，當(dāng)△PAB∽△APC時(shí)，，進(jìn)而求出PB的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，求出PA的長(zhǎng)，即可求的值；當(dāng)△PAB∽△ACP時(shí), 整理得：，

由勾股定理可得：，可列關(guān)于PB的方程，解方程舍去負(fù)數(shù)即可得PB，進(jìn)而得PA的值，從而可求的值．

（1）∵AB是⊙O的直徑

∴∠APB＝90°

∴BP⊥AP

∵CA⊥面APB

∴CA⊥BP

∴BP⊥面PAC

∴BP⊥PC

∴∠BPC＝90°

（2）∠BPC=90°成立．

理由：∵AB是⊙O的直徑

∴∠APB＝90°

∴BP⊥AP

∵CA⊥面APB

∴CA⊥BP

∴BP⊥面PAC

∴BP⊥PC

∴∠BPC＝90°

（3）存在，

當(dāng)△PAB∽△APC時(shí)，，

∵AC＝，

∴，

∴，

又∵AB＝6，∠APB＝90°，

由勾股定理可得：

，

；

當(dāng)△PAB∽△ACP時(shí), ，

即

∵

∴

∵在Rt△PAB中，AB＝6,

由勾股定理可得：

∴

解得：PB＝或PB＝（舍去）

∴

∴

∴

綜上所述，弧AB上存在點(diǎn)P使△PAB與△PAC相似，＝或．