Question

如圖①，直線y=x-3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，點A在x軸負半軸上，且，拋物線經(jīng)過A、B、C三點，D為線段AB中點，點P（m，n）是該拋物線上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連接DP交BC于點E．
（1）寫出A、B、C三點的坐標，并求拋物線的解析式；
（2）當△BDE是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標；
（3）連接PC、PB（如圖②），△PBC是否有最大面積？若有，求出△PBC的最大面積和此時P點的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）
設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得-3a=-3，解得a=1．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）E₁（2，-1），E₂（），E₃（1，-2）．

（3）作PF⊥x軸于點F，設△PBC的面積為S，則
S=S_{四邊形OCPF}+S_△PFB-S_△OBC
=（3-n）m+（3-m）（-n）-×3×3，
=m-n-，
又∵點P是拋物線上的點，
且m＞0，n＜0
∴n=m²-2m-3（0＜m＜3）
∴
=
∴當時，△PBC的面積最大，最大面積為，
此時P點坐標為．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；
（2）運用等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論，即可解決；
（3）求出△PBC的最大面積，可以聯(lián)系二次函數(shù)的最值問題．
點評：此題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)最值問題，綜合性比較強．