Question

（2012•天水）如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，交AC于點O，分別連接AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）過E點作AD的垂線EP交AC于點P，求證：2AE²=AC•AP；
（3）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm²，求△ABF的周長．

Answer 1

分析：（1）求出∠AOE=∠COF=90°，OA=OC，∠EAO=∠FCO，證△AOE≌△COF，推出OE=OF即可；
（2）證△AOE∽△AEP，得出比例式，即可得出答案；
（3）設(shè)AB=xcm，BF=ycm，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AF=AE=10cm，根據(jù)勾股定理求出x²+y²=100，推出（x+y）²-2xy=100①，根據(jù)三角形的面積公式求出

1

2

xy=24．即xy=48 ②．即可求出x+y=14的值，代入x+y+AF求出即可．

解答：（1）證明：當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，

∠AOE=∠COF OA=OC ∠EAO=∠FCO

∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴平行四邊形AFCE是菱形．

（2）證明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴

AE

AP

=

AO

AE

，
即AE²=AO•AP，
∵AO=

1

2

AC，
∴AE²=

1

2

AC•AP，
∴2AE²=AC•AP．

（3）解：設(shè)AB=xcm，BF=ycm．
∵由（1）四邊形AFCE是菱形，
∴AF=AE=10cm．
∵∠B=90°，
∴x²+y²=100．
∴（x+y）²-2xy=100①．
∵△ABF的面積為24cm²，
∴

1

2

xy=24．即xy=48 ②．
由①、②得（x+y）²=196．
∴x+y=14或x+y=-14（不合題意，舍去）．
∴△ABF的周長為：x+y+AF=14+10=24（cm）．

點評：本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，題目綜合性比較強，有一定的難度．