【題目】如圖1,以邊長為8的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作⊙O,交對角線AC于點E.

(1)線段AE=____________;

(2)如圖2,以點A為端點作∠DAM=30°,交CD于點M,沿AM將四邊形ABCM剪掉,使Rt△ADM繞點A逆時針旋轉(如圖3),設旋轉角為α(0°<α<150°),旋轉過程中AD與⊙O交于點F.

①當α=30°時,請求出線段AF的長;

②當α=60°時,求出線段AF的長;判斷此時DM與⊙O的位置關系,并說明理由;

③當α=___________°時,DM與⊙O相切。

【答案】(1);(2)①4;②DM與⊙O的位置關系是相離;③90°

【解析】(1)連接BE,∵AC是正方形ABCD的對角線,∴∠BAC=45°,∴△AEB是等腰直角三角形,又∵AB=8,∴AE=4;

(2)①連接OA、OF,由題意得,∠NAD=30°,∠DAM=30°,故可得∠OAM=30°,∠DAM=30°,則∠OAF=60°,又∵OA=OF,∴△OAF是等邊三角形,∵OA=4,∴AF=OA=4;

②連接B'F,此時∠NAD=60°,∵AB'=8,∠DAM=30°,∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4

此時DM與⊙O的位置關系是相離;

③∵AD=8,直徑的長度相等,∴當DM與⊙O相切時,點D在⊙O上,故此時可得α=∠NAD=90°.

練習冊系列答案
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