Question

5．如圖所示，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，BC=3，點(diǎn)P是AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)（P不同于A(yíng)、D），Q是BC邊上的任意一點(diǎn)，連接AQ、DQ，過(guò)P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．設(shè)AP的長(zhǎng)為x，則△PEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是（　�。�

• A． y=-$\frac{1}{3}$x²+x
• B． y=-$\frac{2}{3}$x²+2x
• C． y=-$\frac{1}{3}$x²+x+3
• D． y=-$\frac{2}{3}$x²+2x+6

Answer 1

分析 由于PE∥DQ，PF∥AQ，因此四邊形PEQF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形PEQF}，可先求出△AQD的面積，然后根據(jù)△AEP與△ADQ相似，用相似比的平方即面積比求出△APE的面積，同理可求出△DPF的面積，進(jìn)而可求出平行四邊形PEQF的面積表達(dá)式，也就能得出關(guān)于y，x的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴△APE∽△ADQ，△PDF∽△ADQ，S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形PEQF}，
∴$\frac{{S}_{△AEP}}{{S}_{△AQD}}$=（$\frac{x}{3}$）²，$\frac{{S}_{△DPE}}{{S}_{△ADQ}}$=（$\frac{3-x}{3}$）²，
∵S_△AQD=$\frac{1}{2}$AD×AB=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
得S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形PEQF}
=$\frac{1}{2}$（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP）
=$\frac{1}{2}$×[3-（$\frac{x}{3}$）²×3-（$\frac{3-x}{3}$）²×3]
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{2}{3}$x²+2x）
=-$\frac{1}{3}$x²+x，
即△PEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=-$\frac{1}{3}$x²+x．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二次函數(shù)，利用平行得出相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．