Question

【題目】在利用構(gòu)造全等三角形來解決的問題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，怎樣求AD的取值范圍呢？我們可以延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AD＝DE，然后連接BE（如圖①），這樣，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下來，在△ABE中通過AE的長(zhǎng)可求出AD的取值范圍．

請(qǐng)你回答：

（1）在圖①中，中線AD的取值范圍是　 　．

（2）應(yīng)用上述方法，解決下面問題

①如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn)，作DF⊥DE交AC邊于點(diǎn)F，連接EF，若BE＝4，CF＝2，請(qǐng)直接寫出EF的取值范圍．

②如圖③，在四邊形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，點(diǎn)F在DC上，且滿足BC＝CF，DF＝AD，連接CE、ED，請(qǐng)判斷CE與ED的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）1＜AD＜7；（2）①2＜EF＜6；②CE⊥ED，理由見解析

【解析】

（1）在△ABE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得出結(jié)果；

（2）①延長(zhǎng)ED到點(diǎn)N，使，連接CN、FN，由SAS證得，得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，在△CFN中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得出結(jié)果；

②延長(zhǎng)CE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，易證DG∥BC，得出，由ASA證得，得出，即可證得，由，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出．

（1）在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：

，即

，即

故答案為：；

（2）①如圖②，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)N，使，連接CN、FN

∵點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)

在△NDC和△EDB中，

是等腰三角形，

在△CFN中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：

，即

；

②；理由如下：

如圖③，延長(zhǎng)CE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G

∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)

在△GAE和△CBE中，

，即

．（等腰三角形的三線合一）