Question

已知x=

1+ 1+ 1+x

，求x⁶+x⁵+2x⁴-4x³+3x²+4x-4的整數部分．

Answer 1

考點：二次根式的化簡求值

專題：計算題

分析：根據算術平方根非負數判斷出x＞0，然后利用放縮法判斷出

1+x

＞x與

1+x

＜x都不成立，從而得到

1+x

=x，兩邊平方得到x²-x-1=0，根據一元二次方程的解法求出x的值，再利用配項法把x⁶+x⁵+2x⁴-4x³+3x²+4x-4整理成（x²-x-1）與另一多項式相乘的形式加上另一多項式，然后代入x的值進行計算，最后利用“夾逼法”進行解答．

解答：解：由已知得x＞0．
若

1+x

＞x，
則x=

1+ 1+ 1+x

＞

1+ 1+x

＞

1+x

，與假設矛盾；
若

1+x

＜x，
則x=

1+ 1+ 1+x

＜

1+ 1+x

＜

1+x

，與假設矛盾；
因此

1+x

=x，
兩邊平方并整理得，x²-x-1=0，
解得x=

1+ 5

2

，x=

1- 5

2

（舍去），
而x⁶+x⁵+2x⁴-4x³+3x²+4x-4=（x⁶-x⁵-x⁴）+（2x⁵-2x⁴-2x³）+（5x⁴-5x³-5x²）+（3x³-3x²-3x）+（11x²-11x-11）+18x+7，
=x⁴（x²-x-1）+2x³（x²-x-1）+5x²（x²-x-1）+3x（x²-x-1）+11x（x²-x-1）+18x+7，
=（x²-x-1）（x⁴+2x³+5x²+3x+11）+18x+7，
=18x+7，
所以，原式=18×

1+ 5

2

+7=16+9

5

=16+

405

，
∵20＜

405

＜21，
∴所求整數值為36．

點評：本題考查了二次根式的化簡，本題難點有二，其一是利用放縮法判斷出

1+x

=x，從而得到x²-x-1=0，其二是對所求多項式配項出現(xiàn)（x²-x-1）與另一多項式相乘的形式，正確進行配項是解題的關鍵．