Question

△ABC的三條外角平分線所在的直線相交構(gòu)成△DEF，那么△DEF的最大角α的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)角平分線定義、三角形的內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)可以證明△DEF中的每一個內(nèi)角等于90°減去△ABC中相應(yīng)的內(nèi)角的一半，要求△DEF的最大角α的取值范圍，只需分析△ABC中的最小角的取值范圍，即大于0°而小于等于60°，從而求得α的取值范圍．

解答：解：根據(jù)角平分線定義、三角形的內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)，得
∠D=180°-（∠1+∠2）=180°-

1

2

（∠MAC+∠ACN）=180°-

1

2

（180°+∠B）=90°-

1

2

∠B，
同理，得∠E=90°-

1

2

∠C，∠F=90°-

1

2

∠A．
因為△ABC中的最小角的取值范圍，即大于0°而小于等于60°，
所以△DEF的最大角α的取值范圍是大于等于60°而小于90°．
故答案為60°≤α＜90°．

點評：本題主要考查了三角形的外角平分線所成的角和三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系，即三角形的外角平分線所成的角等于90°減去原三角形中相應(yīng)的內(nèi)角的一半．