Question

16．如圖，已知△ABC，△HMB，△BDG均為等邊三角形，其中點(diǎn)C，D，H，M在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，過點(diǎn)G作GF⊥直線HB于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AE⊥直線MB于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)G重合于y軸時(shí)，如圖1，則GF=AE（填“＜”“＞”或“=”），∠EGF=120°．
（2）如圖2．
①判斷GF與AE的大小關(guān)系，并證明；
②已知點(diǎn)C（c，0），D（d，0），B（0，b）用含b、c、d的式子表示S_△AEB+S_△BFG；
③若直線AE與直線FG相交所夾的較大角為α，請(qǐng)直接判斷α是否會(huì)隨著三個(gè)等邊三角形（△ABC，△HMB，△BDG）的大小改變而改變．

Answer 1

分析 （1）由條件可證明四邊形ACBD為菱形，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可證得GF=AE，并能求得∠EGF的大小；
（2）①根據(jù)條件可證明△AEB≌△BOC，可得AE=BO，同理可證GF=BO，可證得結(jié)論；
②利用①中的結(jié)論，可得S_△AEB+S_△BFG=S_△BCD，可求得結(jié)果；
③結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)，α在四邊形EBFM中，根據(jù)條件可求得∠EBF=60°，∠MEB=∠MFB=90°，由四邊形內(nèi)角和為360°可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ABC和△GBD都是等邊三角形，
∴當(dāng)A、G重合時(shí)，則有AC=AD，
∵BF⊥AC，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC，同理GE=$\frac{1}{2}$GD，
∴GE=AF，
又四邊形ACBD為菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EGF=180°-∠ACB=120°，
故答案為：=；120；
（2）①GF=AE，證明如下：
∵△ABC、△HMB、△BDG均為等邊三角形，
∴∠ABC=∠MBH=∠BHM=60°，AB=BC，
∴∠ABE+∠CBH=60°，
∵∠BCO+∠CBH=∠BHO=60°，
∴∠ABE=∠BCH，
∵AE⊥BM，
∴∠AEB=∠BOC=90°，
在△AEB和△BOC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BOC}\\{∠ABE=∠BCO}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△BOC（AAS），
∴AE=BO，
同理可證△BGF≌△DBO，可得FG=BO，
∴GF=AE；
②∵C（c，0），D（d，0），B（0，b），
∴OB=b，CD=d-c，
由①可知△AEB≌△BOC，△BGF≌△DBO，
∴S_△AEB+S_△BFG=S_△COB+S_△B0D=S_△BCD=$\frac{1}{2}$×CD×OB=$\frac{1}{2}$b（d-c）；
③如圖3，在四邊形EBFM中，
∵∠EBF=∠HBM=60°，∠MEB=∠MFB=90°，
∴α=∠EMF=360°-90°-90°-60°=120°；
∴α是不會(huì)隨著三個(gè)等邊三角形（△ABC，△HMB，△BDG）的大小改變而改變，始終是120°．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形和四邊形的綜合題，考查了等邊三角形、菱形邊和角的關(guān)系，此題的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出邊及面積的關(guān)系，除了利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等外，還利用了全等三角形的面積也相等這一結(jié)論，在證明角相等時(shí)，應(yīng)用了“如果兩個(gè)角與同一個(gè)角的和都是60°，那么這兩個(gè)角相等”．