Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC，BC∥OA，一邊OA在x軸上，另一邊OC在y軸上，且OA=AB=5cm，BC=2cm，以O(shè)C為直徑作⊙P．
（1）求⊙P的直徑；
（2）⊙P沿x軸向右滾動過程中，當(dāng)⊙P與x軸相切于點A時，求⊙P被直線AB截得的線段AD長；
（3）⊙P沿x軸向右滾動過程中，當(dāng)⊙P與直線AB相切時，求圓心P移動的距離．

Answer 1

分析 （1）作BD⊥OA于點D，由題意可得BD=OC，要求⊙P的直徑，只要求出BD的長即可，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可以得到BD的長，本題得以解決；
（2）根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，作AE⊥CP交CB的延長線于點E，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角和勾股定理可以得到AD的長，本題得以解決；
（3）根據(jù)題意可知，分兩種情況，分別畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系和切線的性質(zhì)，可以分別求得圓心P移動的距離，本題得以解決．

解答 解：（1）如右圖①，過B作BD⊥OA．
由題意知：∠BCO=∠DOC=∠BDO=90°．
∴四邊形ODBC為矩形．
∴OC=BD，OD=BC．
∵BC=2，
∴DA=OA-OD=5-2．
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得
BD²=AB²-DA²，
∴BD=4，
∴CD=4，
即⊙P的直徑是4cm；
（2）如右圖②所示，當(dāng)⊙P與x軸相切于A時，
設(shè)⊙P與CB所在直線相切于E．
易知P在EA上，且CE=AO=5
∴BE=3
連接ED，
∵EA為直徑，
∴∠EDA=90°．
設(shè)AD=x，則BD=5-x
由勾股定理知3²-（5-x）²=4²-x²
解得x=$\frac{16}{5}$
∴AD=$\frac{16}{5}$cm．
（3）如右圖③所示，當(dāng)⊙P與AB相切時，分兩種情況．
?第一種情況：當(dāng)⊙P滾動到P₁時，設(shè)PP₁=x，由題意易知：PP₁=CE=OG=x，
則BE=BC-CE=2-x，AG=AO-OG=5-x．
∵⊙P₁與AB、AO相切于點F、G，
∴AF=AG=5-x．
∵⊙P₁與BC、AB相切于點E、F，
∴BF=BE=2-x．
∵AB=5，AF+BF=AB，
∴5-x+2-x=5．
解得，x=1，
即PP₁=1cm；
第二種情況：?當(dāng)⊙P滾動到P₂時，設(shè)PP₂=x，易知：OJ=CH=PP₂=x，
則AJ=x-5，BH=x-2，
∵⊙P₂與AB、CH相切，
∴BI=BH=x-2．
同理，AI=AJ=x-5．
∵AB=BI+AI，
∴x-2+x-5=5．
解得，x=6，
即PP₂=6cm；
∴當(dāng)⊙P與直線AB相切時，點P移動的距離為1cm或6cm．

點評 本題考查圓的綜合題、直徑所對的圓周角是直角、勾股定理、切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，作出合適的輔助線，找出所求問題需要的條件．