Question

20．過點A（1，2）的直線與雙曲線y=$\frac{2}{x}$在第一象限內(nèi)交于點P，直線AO交雙曲線的另一分支于點B，且點C（2，1）．
（1）如圖，當(dāng)點P與C重合時，PA、PB分別交y軸于點E、F．求證：CE=CF；
（2）當(dāng)點P異于A、C時，探究∠PAC與∠PBC的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論不必證明．

Answer 1

分析 （1）由點A（1，2），點C（2，1），直接利用待定系數(shù)法，即可求得直線AC的解析式，繼而求得點E的坐標(biāo)，然后由過點A（1，2）的直線與雙曲線y=$\frac{2}{x}$在第一象限內(nèi)交于點P，求得直線BC的解析式，繼而求得答案；
（2）首先設(shè)P（m，$\frac{2}{m}$），且m≠1，2，即可求得直線AP與直線BP的解析式，然后進行角關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
∵點A（1，2），點C（2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=-x+3，
∴點E的坐標(biāo)為：（0，3）；
直線BC的解析式為：y=mx+n，
∵過點A（1，2）的直線與雙曲線y=$\frac{2}{x}$在第一象限內(nèi)交于點P，
∴點B的坐標(biāo)為：（-1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{-k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=x-1，
∴點F的坐標(biāo)為：（0，-1）；
∴CE=$\sqrt{{2}^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CF=$\sqrt{{2}^{2}+[1-（-1）]^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CE=CF；

（2）解：∵P在雙曲線上，且不同于A，C兩點，
設(shè)P（m，$\frac{2}{m}$），且m≠1，2，
∴直線AP可表示為：y=-$\frac{2x}{m}$+$\frac{2}{m}$+2，
直線BP可表示為：y=$\frac{2x}{m}$+$\frac{2}{m}$-2，
①當(dāng)P點在A點上方時，
連結(jié)AP并延長交y軸于M點，連結(jié)PB交y軸于N點，
根據(jù)直線AP和直線BP的方程可知，M（0，$\frac{2}{m}$+2），N（0，$\frac{2}{m}$-2），
則根據(jù)勾股定理可得PM=$\sqrt{（\frac{2}{m}+2-\frac{2}{m}）^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，
同理可得PN=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，
∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∵∠MAE+∠PMN=∠CEF，∠PBC+∠BNF=∠CFE，
∠MAE=∠PBC，∠CEF=∠CFE，
∴∠PAE=∠PBC，
∵∠PAE+∠PAC=180°，
∴∠PAC+∠PBC=180°．
②當(dāng)P點在A點下方時，
連結(jié)PA并延長交y軸于M點，連結(jié)PB交y軸于N點，
同上述方法可得PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
∵∠MAE+∠CEF=∠PMN，∠PBC+∠BFN=∠PNM，
∠MAE=∠PAC，∠BFN=∠CFE，
∴∠PAC=∠PBC．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．