Question

【題目】在等邊中，點在上，點在的延長線上，且.試探索以下問題：

(1)當點為的中點時，如圖1，求證：.

(2)如圖2，當點不是的中點時，過點作，交于點，求證：是等邊三角形.

(3)在(2)的條件下，與還相等嗎？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)ED=EC.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，再由E是AB的中點，AE=BE=BD，證出∠EDB=∠ECB，得出EC=ED；

（2）在△AEF中，只要證明有兩個內(nèi)角是60°即可；

（3）只要證明△DBE≌△EFC，即可推出結(jié)論.

解：(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，

∠ABC=∠ACB=∠A=60o ，

∵E是AB的中點，

∴AE=BE，∠ECB=∠ACB=30°，

∵AE=BD，

∴BE=BD，

∴∠EDB=∠DEB=∠ABC=30°，

∴∠EDB=∠ECB，

∴EC=ED.

(2)∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC=60 o,∠AFE=∠ACB=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

(3)ED=EC.理由如下：

由(2)得：△AEF是等邊三角形

∴∠AFE=∠ABC=60°，AE=EF=AF

∴∠EFC=∠DBE=120°，

又∵AE=BD，AB=AC，

∴BD=EF，BE=FC，

∴△DBE≌△EFC(SAS)，

∴ED=EC.