Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx-3的圖象與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過點B和二次函數(shù)圖象上另一點A，點A的坐標(biāo)（4，3），tan∠ABC=

1

2

．
（1）求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）若點P在第四象限內(nèi)的拋物線上，求△ABP面積S的最大值并求出此時點P的坐標(biāo)；
（3）若點M在直線AB上，且與點A的距離是到x軸距離的

5

2

倍，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過點A作AD⊥x軸于點D，則D（4，0），∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根據(jù)正切函數(shù)的定義求出BD=6，則B點坐標(biāo)為（-2，0），再將B，A兩點的坐標(biāo)代入y=ax²+bx-3，運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；將B，A兩點的坐標(biāo)代入y=mx+n，運用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中求出的拋物線的解析式可設(shè)點P的坐標(biāo)為（t，

1

2

t²-

1

2

t-3），過點P作PH垂直于x軸交AB于H點，則H（t，

1

2

t+1），用含t的代數(shù)式表示PH的長度，再根據(jù)S_△ABP=

1

2

PH•BD，求出S_△ABP=-

3

2

t²+3t+12，配方后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)（1）中求出的直線AB的解析式可設(shè)點M的坐標(biāo)為（p，

1

2

p+1），由點M與點A的距離是它到x軸距離的

5

2

倍，列出關(guān)于p的方程，解方程即可．

解答：解：（1）過點A（4，3）作AD⊥x軸于點D，則D（4，0），∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，∵tan∠ABD=

AD

BD

=

3

BD

=

1

2

，
∴BD=6，B點坐標(biāo)為（-2，0）．
將B（-2，0），A（4，3）代入y=ax²+bx-3，
得

4a-2b-3=0 16a+4b-3=3

，
解得：

a= 1 2 b=- 1 2

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x²-

1

2

x-3；
將B（-2，0），A（4，3）代入y=mx+n，
得

-2m+n=0 4m+n=3

，解得

m= 1 2 n=1

，
∴一次函數(shù)解析式為y=

1

2

x+1；

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（t，

1

2

t²-

1

2

t-3），過點P作PH垂直于x軸交AB于H點，則H（t，

1

2

t+1），
∴PH=（

1

2

t+1）-（

1

2

t²-

1

2

t-3）=-

1

2

t²+t+4，
∴S_△ABP=S_△AHP+S_△BHP=

1

2

PH•DM+

1

2

PH•BM=

1

2

PH•BD=

1

2

（-

1

2

t²+t+4）•6=-

3

2

t²+3t+12=-

3

2

（t-1）²+

27

2

，
∴當(dāng)t=1即P點坐標(biāo)為（1，-3）時，△ABP的面積S最大，此時S_△ABP=

27

2

；

（3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（p，

1

2

p+1），
由題意，得

(p-4)2+( 1 2 p+1-3)2

=

5

2

×|

1

2

p+1|，
化簡整理，得p²-12p+20=0，
解得p=2或10，
當(dāng)p=2時，

1

2

p+1=

1

2

×2+1=2；
當(dāng)p=10時，

1

2

p+1=

1

2

×10+1=6．
故所求點M的坐標(biāo)為（2，2）或（10，6）．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式，三角形的面積，兩點間的距離公式，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點到坐標(biāo)軸的距離等重要知識點，難度不是很大．運用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．