Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：
（1）如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C，D．
①比較大小：PC

 

PD． （選擇“＞”或“＜”或“=”填空）；
②證明①中的結(jié)論．
（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，一直角邊與邊OA交于點(diǎn)C，且OC=1，另一直角邊與直線OB，直線OA分別交于點(diǎn)D，E，當(dāng)以P，C，E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似時(shí)，試求OP的長．（提示：請先在備用圖中畫出相應(yīng)的圖形，再求OP的長）．°

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）過P作PH⊥OA，PN⊥OB，根據(jù)三角形內(nèi)角和的度數(shù)求出∠HPC=∠NPD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PH=PN，最后根據(jù)全等三角形的判定得出△PCH≌△PDN，
即可得出答案．
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①若PD與邊OB相交，根據(jù)三角形相似得出∠PEC=∠DCO，再根據(jù)DO⊥OC，OC=1，得出OP為Rt△CPE斜邊上的中線，即可求出OP的長；②若PD與邊OB的反向延長線相交，過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，根據(jù)三角形相似得出∠PCE=∠OCD，再根據(jù)∠PCO+∠PEC=90°，∠PDO+∠OED=90°，得出∠PDO=∠PCO，在Rt△PHC和Rt△PND中，根據(jù)全等三角形的判定得出Rt△PHC≌Rt△PND，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠PCO和∠ODP的度數(shù)，從而得出OP=OD，設(shè)OP=x，根據(jù)HC=DN，求出x的值，即可得出答案．

解答：解（1）①PC=PD；
故答案為：=；

②如圖1：過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H、N，
得∠HPN=90°，
∴∠HPC+∠CPN=90°，
∵∠CPN+∠NPD=90°，
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分線，
∴PH=PN，
在△PCH和△PDN中，
∵

∠HPC=∠NPD PH=PN ∠PHC=∠PND

，
∴△PCH≌△PDN，
∴PC=PD．

（2）如圖2：①若PD與邊OB相交，
∵∠PCE＞∠DCO，∠CPE=∠DOC=90°
∴由△PCE與△OCD相似可得∠PEC=∠DCO，
∴DE=CD，而DO⊥OC，
∴OE=OC=1，
∴OP為Rt△CPE斜邊上的中線，
∴OP=

1

2

EC=OC=1，

②如圖3：若PD與邊OB的反向延長線相交，
過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，
則PH=PN
∵△PCE與△DCO相似，且∠PEC＞∠OCD，∠CPE=∠DOC=90°
∴∠PCE=∠OCD，
又∵∠PCO+∠PEC=90°，∠PDO+∠OED=90°，
且∠PEC=∠OED，
∴∠PDO=∠PCO．
在Rt△PHC和Rt△PND中，
∵

∠PHD=∠PHC ∠PDO=∠PCO PH=PN

，
∴Rt△PHC≌Rt△PND，
∴HC=ND，PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC=45°，
∴∠PCO=∠DCO=∠PDO=22.5°
又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°，
∴∠ODP=∠OPD=22.5°
∴OP=OD，
設(shè)OP=x，則HC=OC-OH=1-

2

2

x，
而DN=DO+ON=OP+ON=x+

2

2

x，
∴1-

2

2

x=x+

2

2

x，
∴x=

2

-1，即OP=

2

-1，
綜上所述，滿足條件的OP=1或OP=

2

-1．

點(diǎn)評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造直角三角形．