Question

【題目】如圖，AB＝AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)O是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)M，與CD相切于點(diǎn)N

(1)求證：∠AOC＝135°；

(2)若NC＝3，BC＝2，求DM的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）∠AOC＝135°；（2）DM＝1．

【解析】

(1)如圖，作OE⊥AC于E，連接OM，ON，由切線的性質(zhì)可得OM⊥AB，ON⊥CD，由角平分線的性質(zhì)可得OM=OE，從而得AC是⊙O的切線，繼而可得OC平分∠ACD，繼而通過推導(dǎo)即可證得∠AOC=135°；

(2)由切線長(zhǎng)定理可得AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設(shè)DM=DN=x，AM=AE=y，則有BD=3﹣x，在Rt△BDC中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

(1)如圖，作OE⊥AC于E，連接OM，ON，

∵⊙O與AB相切于點(diǎn)M，與CD相切于點(diǎn)N，

∴OM⊥AB，ON⊥CD，

∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，

∴OM=OE，

∴AC是⊙O的切線，

∵ON=OE，ON⊥CD，OE⊥AC，

∴OC平分∠ACD，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∴∠AOC=180°﹣(∠DAC+∠ACD)=180°﹣45°=135°．

(2)∵AD，CD，AC是⊙O的切線，M，N，E是切點(diǎn)，

∴AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，設(shè)DM=DN=x，AM=AE=y，

∵AB=AC，

∴BD=3﹣x，

在Rt△BDC中，∵BC2=BD2+CD2，

∴20=(3﹣x)2+(3+x)2，

∵x>0，

∴x=1，

∴DM=1．