Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形BEF，連接AE、AF，當(dāng)AE⊥AF且AE：AF=1：2時(shí)，則AE的長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得AE與AF的關(guān)系，然后延長(zhǎng)AF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，然后證明△AEB和△GFB全等，再根據(jù)勾股定理可以求得AE的長(zhǎng)，本題得以解決．

解答 解：∵∠EAF=90°，∠EBF=90°，
∴∠AEB+∠AFB=180°，
延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)G，
∵∠AFB+∠GFB=180°，
∴∠AEB=∠GFB，
∵∠EBA+∠ABF=∠ABF+∠FBG=90°，
∴∠EBA=∠FBG，
又∵EB=FB，
∴△AEB≌△GFB（ASA），
∴AB=BG，F(xiàn)G=AE，
∵AE：AF=1：2，AB=6，
設(shè)AE=x，則AF=2x，F(xiàn)G=x，BG=AB=6，
∴$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}=2x+x$，
解得，x=2$\sqrt{2}$，
即AE=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．