Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．

（1）求二次函數(shù)的解析式，并寫出拋物線的對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)E時拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠BEC=90°時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）若P（m，n）是拋物線上一個動點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=x2﹣x﹣4；對稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣）；(2)、（1，﹣2﹣）或（1，﹣2+）；(3)、（2，﹣4），最大值為4.

【解析】

試題分析：(1)、由點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式，再利用配方法將其化成頂點(diǎn)式即可找出該拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)、設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，t），由兩點(diǎn)間的距離公式可求出BE、CE、BC的長，根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)、由點(diǎn)P在拋物線上，可用m表示出n，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，再由點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)P到直線BC的距離，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S△PBC關(guān)于m的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

試題解析：(1)、將點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）代入y=ax2+bx+c中，

得，解得：， ∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣x﹣4．

∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣， ∴該拋物線的對稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣）．

(2)、依照題意，畫出圖形，如圖1所示． 設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，t）， ∵B（4，0）、C（0，﹣4），

∴BE=，CE=，BC=4， ∵∠BEC=90°，∴BE2+CE2=BC2，即9+t2+t2+8t+17=32，

解得：t1=﹣2+，t2=﹣2﹣， 即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，﹣2﹣）或（1，﹣2+）．

(3)、假設(shè)存在，如圖2所示． ∵P（m，n）是拋物線上一個動點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），

∴n=m2﹣m﹣4，0＜m＜4． 設(shè)直線BC的解析式為y=kx﹣4， ∵點(diǎn)B（4，0）為直線BC上的點(diǎn)，

∴0=4k﹣4，解得：k=1， ∴直線BC的解析式為y=x﹣4，即x﹣y﹣4=0．

點(diǎn)P到直線BC的距離d==|﹣m2+m|， ∵0＜m＜4，

∴d=﹣m2+m． S△PBC=BCd=×4×（﹣m2+m）=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，

∴當(dāng)m=2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣4）時，S△PBC取最大值4