Question

12．已知⊙O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)A作⊙O的切線，與CO的延長線于點(diǎn)P，CP與⊙O交于點(diǎn)D．
（1）如圖①，若AP=AC，求∠B的大小；
（2）如圖②，若AP∥BC，∠P=42°，求∠BAC的大�。�

Answer 1

分析 （1）如圖①，連接OA、AD．由等腰三角形的性質(zhì)可知∠P=∠ACP，然后由切線的性質(zhì)可證明∠PAO=90°，于是得到∠P+∠POA=90°，然后依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證明∠AOP=2∠ACP，從而可求得∠ACP的度數(shù)，然后可求得∠ADC的度數(shù)，最后依據(jù)圓周角定理可求得∠B的度數(shù)；
（2）如圖，連接BD．由直徑所對的圓周角等于90°可求得∠DBC=90°，然后依據(jù)平行線的性質(zhì)可求得∠PCB的度數(shù)，于是可得到∠CDB的度數(shù)，最后依據(jù)圓周角定理可求得∠BAC的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖①，連接OA、AD．

∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP．
∵PA與⊙O與相切，
∴∠PAO=90°．
∴∠P+∠POA=90°．
∵OA=0C，
∴∠ACO=∠CAO．
∴∠AOP=2∠ACO．
∵∠P+∠POA=90°，
∴∠ACP+2∠ACP=90°．
∴∠ACP=30°．
∴∠B=2∠ACP=60°．
（2）如圖，連接BD．

∵DC為⊙O的直徑，
∴∠DBC=90°．
∴∠CDB+∠DCB=90°．
∵AP∥BC，
∴∠PCB=∠P=42°．
∴∠CDB=90°-42°=48°．
∴∠BAC=∠BDC=48°．

點(diǎn)評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．