Question

如圖，若菱形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，直線經(jīng)y=

3

x過點(diǎn)A，菱形OABC的面積為2

3

，則經(jīng)過對角線交點(diǎn)D的反比例函數(shù)解析式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式

專題：

分析：過A作AM⊥x軸于M，過D作DN⊥x軸于N，設(shè)A的坐標(biāo)是（x，

3

x），求出D的坐標(biāo)，根據(jù)面積求出x的值，得出D的坐標(biāo)，設(shè)過D的反比例函數(shù)的解析式是y=

k

x

，代入求出即可．

解答：
解：過A作AM⊥x軸于M，過D作DN⊥x軸于N，
∵A在直線y=

3

x上，
∴設(shè)A的坐標(biāo)是（x，

3

x），
則tan∠AOC=

3 x

x

=

3

，
∴∠AOC=60°，
∵四邊形AOCB是菱形，
∴OB⊥AC，AD=CD，AO=OC，∠COD=∠AOD=30°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴由勾股定理得：AO=OC=

( 3 x)2+x2

=2x，
則D的縱坐標(biāo)是

1

2

AM=

3 x

2

，
∵∠COD=30°，∠OND=90°，
∴OD=2DN=

3

x，由勾股定理得：ON=

3

2

x，
∴D的坐標(biāo)是（

3

2

x，

3

2

x），
∵菱形OABC的面積為2

3

，
∴2x•

3

x=2

3

，
∴x=1（x=-1舍去），
即D的坐標(biāo)是（

3

2

，，

3

2

）
設(shè)過D的反比例函數(shù)的解析式是y=

k

x

，
把D的坐標(biāo)代入得：k=

3 3

4

，
∴y=

3 3

4x

，
故答案為：y=

3 3

4x

．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出D的坐標(biāo)，題目比較典型，是一道比較好的題目．