Question

Rt△ABC與Rt△FED是兩塊全等的含30°、60°角的三角板，按如圖（一）所示拼在一起，CB與DE重合．

（1）求證：四邊形ABFC為平行四邊形；

（2）取BC中點(diǎn)O，將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)到如圖（二）中△A′B′C′位置，直線B'C'與AB、CF分別相交于P、Q兩點(diǎn)，猜想OQ、OP長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）在（2）的條件下，指出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時(shí)，四邊形PCQB為菱形？（不要求證明）

　

Answer 1

【考點(diǎn)】菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．

【專題】幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）已知△ABC≌△FCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知AB=CF，AC=BF，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得到結(jié)論．

（2）根據(jù)已知利用AAS判定△COQ≌△BOP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到OP=OQ．

（3）根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形的菱形進(jìn)行分析即可．

【解答】（1）證明：∵△ABC≌△FCB，

∴AB=CF，AC=BF．

∴四邊形ABFC為平行四邊形．

 

（2）解：OP=OQ，

理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，

∴△COQ≌△BOP．

∴OQ=OP．

 

（3）解：90°．

理由：∵OP=OQ，OC=OB，

∴四邊形PCQB為平行四邊形，

∵BC⊥PQ，

∴四邊形PCQB為菱形．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)平行四邊形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定，菱形的判定等知識(shí)的綜合運(yùn)用．