Question

2．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，連接EF，求證：DE+BF=EF．
方法感悟：閱讀解題過程，并完成下列填空：
延長CB到點(diǎn)G，使GB=DE，連接AG．
則∠ABG=∠D=90°，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，
所以AB=AD．
又因?yàn)锽G=DE．
所以△ABG≌△ADE．
所以∠1=∠2，AG=AE．
因?yàn)椤螮AF=45°，
所以∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
因?yàn)椤?=∠2，所以∠1+∠3=45°．
即∠GAF=45°．
又AG=AE，AF=AF，所以△CAF≌△GAF．
所以GF=EF．
所以DE+BF=EF．
方法遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠B=∠D=90°，∠C=∠EAF=60°，點(diǎn)E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn)，試說明DE、BF、EF之間有何數(shù)量關(guān)系？并求出△CEF的周長．

Answer 1

分析 模仿前面的證明，證明方法遷移中的DE、BF、EF之間有何數(shù)量關(guān)系；由于∠D=∠ABC=90°，∠C=60°，AB=AD=1，利用四點(diǎn)共圓說明∠DCA、∠BCA都是30°，利用30°角求出△EFC的周長．

解答 （1）答案：45°，△GAF，GF．
（2）解：DE+BF=EF．
理由：延長延長CB到點(diǎn)G，使GB=DE，連接AG．
則∠ABG=∠D=90°，
∵AB=AD=1．
又∵BG=DE．
所以△ABG≌△ADE．
所以∠DAE=∠GAB，AG=AE．
∵∠B=∠D=90°，∠C=∠EAF=60°，
∴∠DAB=120°
∴∠DAE+∠BAF=60°．
∵∠DAE=∠GAB，所以∠GAB+∠BAF=60°．
即∠GAF=60°．
又AG=AE，AF=AF，所以△EAF≌△GAF．
所以 GF=EF．
所以DE+BF=EF．
∵∠ABG=∠D=90°，
∴點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓．
連接AC，
∵AD=AB，∠C=60°，
∴∠ACD=∠ACB=30°，
在Rt△ACD中，∵AD=1，∴CD=$\sqrt{3}$
在Rt△ACB中，∵AB=1，
∴CB=$\sqrt{3}$
∵L_△EFC=EC+FC+EF=EC+FC+DE+BF=CD+CB=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形全等、四點(diǎn)共圓、特殊角間的三邊關(guān)系．利用四點(diǎn)共圓把邊角連接起來是解決△CEF的周長的關(guān)鍵．