【題目】如圖,為的直徑,,為上一點,過點作的弦,設(shè).
(1)若時,求、的度數(shù)各是多少?
(2)當時,是否存在正實數(shù),使弦最短?如果存在,求出的值,如果不存在,說明理由;
(3)在(1)的條件下,且,求弦的長.
【答案】(1), ;(2)見解析;(3).
【解析】
(1)連結(jié)AD、BD,利用m求出角的關(guān)系進而求出∠BCD、∠ACD的度數(shù);
(2)連結(jié),由所給關(guān)系式結(jié)合直徑求出AP,OP,根據(jù)弦CD最短,求出∠BCD、∠ACD的度數(shù),即可求出m的值.
(3)連結(jié)AD、BD,先求出AD,BD,AP,BP的長度,利用△APC∽△DPB和△CPB∽△APD得出比例關(guān)系式,得出比例關(guān)系式結(jié)合勾股定理求出CP,PD,即可求出CD.
解:(1)如圖1,連結(jié)、.
是的直徑
,
又,
,
(2)如圖2,連結(jié).
,,
,則,
解得
要使最短,則于
,
,
,
故存在這樣的值,且;
(3)如圖3,連結(jié)、.
由(1)可得,
,,
,
,,
,
,
①,
②
同理
,
③,
由①得,由③得
,
在中,,
,
由②,得,
.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動,點Q從點B開始沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動,如果點P、Q分別從點A、B同時出發(fā),經(jīng)幾秒鐘△PBQ與△ABC相似?試說明理由.
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【題目】小張同學嘗試運用課堂上學到的方法,自主研究函數(shù)y=的圖象與性質(zhì).下面是小張同學在研究過程中遇到的幾個問題,現(xiàn)由你來完成:
(1)函數(shù)y=自變量的取值范圍是 ;
(2)下表列出了y與x的幾組對應(yīng)值:
x | … | ﹣2 | ﹣ | m | ﹣ | ﹣ | 1 | 2 | … | |||
y | … | 1 | 4 | 4 | 1 | … |
表中m的值是 ;
(3)如圖,在平面直角坐標系xOy中,描出以表中各組對應(yīng)值為坐標的點,試由描出的點畫出該函數(shù)的圖象;
(4)結(jié)合函數(shù)y=的圖象,寫出這個函數(shù)的性質(zhì): .(只需寫一個)
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【題目】如圖,在中,.點是中點,點為邊上一點,連接,以為邊在的左側(cè)作等邊三角形,連接.
(1)的形狀為______;
(2)隨著點位置的變化,的度數(shù)是否變化?并結(jié)合圖說明你的理由;
(3)當點落在邊上時,若,請直接寫出的長.
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【題目】如圖,在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE.過點A作AE的垂線交DE于點P.若AE=AP=1,PB=.下列結(jié)論:①△APD≌△AEB;②點B到直線AE的距離為;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正確結(jié)論的序號是 .
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【題目】已知:如圖,梯形ABCD,DC∥AB,對角線AC平分∠BCD,點E在邊CB的延長線上,EA⊥AC,垂足為點A.
(1)求證:B是EC的中點;
(2)分別延長CD、EA相交于點F,若AC2=DCEC,求證:AD:AF=AC:FC.
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【題目】上海首條中運量公交線路71路已正式開通.該線路西起滬青平公路申昆路,東至延安東路中山東一路,全長17.5千米.71路車行駛于專設(shè)的公交車道,又配以專用的公交信號燈.經(jīng)測試,早晚高峰時段71路車在專用車道內(nèi)行駛的平均速度比在非專用車道每小時快6千米,因此單程可節(jié)省時間22.5分鐘.求早晚高峰時段71路車在專用車道內(nèi)行駛的平均車速.
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【題目】已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點,設(shè)O為坐標原點.
(1)求∠ABO的正切值;
(2)如果點A向左平移12個單位到點C,直線l過點C且與直線平行,求直線l的解析式.
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【題目】我們給出如下定義:兩個圖形和,在上的任意一點引出兩條垂直的射線與相交于點、,如果,我們就稱、為點的垂等點,、為點的垂等線段,點為垂等射點.
(1)如圖1,在平面直角坐標系中,點為軸上的垂等射點,過作軸的平行線,則直線上的為點的垂等點的是_______;
(2)如果一次函數(shù)圖象過,點為垂等射點的一個垂等點且另一個垂等點也在此一次函數(shù)圖象上,在圖2中畫出示意圖并寫出一次函數(shù)表達式;
(3)如圖3,以點為圓心,1為半徑作,垂等射點在上,垂等點在經(jīng)過(3,0),(0,3)的直線上,如果關(guān)于點的垂等線段始終存在,求垂等線段長的取值范圍(畫出圖形直接寫出答案即可).
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