Question

如圖，已知拋物線l₁：y=x²-4與x軸相交于A，C兩點(diǎn)．
（1）若拋物線l₂與拋物線l₁關(guān)于x軸對稱，求l₂的解析式；
（2）點(diǎn)B是拋物線l₁上一動(dòng)點(diǎn)（B不與A，C重合），以AC為對角線，A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)是D，求證：D在拋物線l₂上；
（3）探究：當(dāng)B沿l₁分別移動(dòng)到x軸上方或下方時(shí)，?ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在，請指出它是什么特殊平行四邊形，并求出其面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)拋物線l₁的解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，以及頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，求出l₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出l₂的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₁，x₁²-4），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入解析式即可證明：點(diǎn)D在l₂上；
（3）首先表示出S的值，根據(jù)函數(shù)值的范圍即可得當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)，y₁＞0，S=4y₁，它是關(guān)于y₁的正比例函數(shù)且S隨y₁的增大而增大，從而得到S既無最大值也無最小值；當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，-4≤y₁＜0，根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷出點(diǎn)B的位置，再根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明，并求出S_最大=16．

解答：（1）解：∵l₁與x軸的交點(diǎn)A（-2，0），C（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-4），l₁與l₂關(guān)于x軸對稱，
∴l(xiāng)₂過A（-2，0），C（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4），
設(shè)y=ax²+4，
則4a+4=0，
解得a=-1，
∴l(xiāng)₂的解析式為y=-x²+4；

（2）證明：設(shè)B（x₁，y₁），
∵點(diǎn)B在l₁上，
∴B（x₁，x₁²-4），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，A、C關(guān)于O對稱，
∴B、D關(guān)于O對稱，
∴D（-x₁，-x₁²+4），
將D（-x₁，-x₁²+4）的坐標(biāo)代入l₂：y=-x²+4，
∴左邊=右邊，
∴點(diǎn)D在l₂上；

（3）解：設(shè)平行四邊形ABCD的面積為S，
則S=2S_△ABC=AC×|y₁|=4|y₁|，
①當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)，y₁＞0，
∴S=4y₁，它是關(guān)于y₁的正比例函數(shù)且S隨y₁的增大而增大，
∴S既無最大值也無最小值；
②當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，-4≤y₁＜0，
∴S=-4y₁，它是關(guān)于y₁的正比例函數(shù)且S隨y₁的增大而減小，
∴當(dāng)y₁=-4時(shí)，S有最大值16，但它沒有最小值，
此時(shí)B（0，-4）在y軸上，它的對稱點(diǎn)D也在y軸上，
∴AC⊥BD，
∴平行四邊形ABCD是菱形，
此時(shí)S_最大=16．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定，利用一次函數(shù)的增減性求最值問題．