Question

【題目】如圖，點(diǎn)是正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，于，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線（不含、兩點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？如果是，請(qǐng)求其值；如果不是，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）是定值，

【解析】

（1）首先證明△AFE是等腰直角三角形，可得PF⊥AE，由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）由“SAS”可證△APB≌△APD，可得PB=PD，通過(guò)證明△AFC∽△APB，可得 ，即可得．

解：（1）如圖，連接PF，

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BAC=45°=∠CAD，AB=AD

∵EF⊥AB

∴∠BAC=∠AEF=45°

∴AF=EF，

∴△AFE是等腰直角三角形，且P是AE中點(diǎn)，

∴PF⊥AE，

∵點(diǎn)M是Rt△PFC斜邊FC的中點(diǎn)

∴PM=FC

（2）是定值，

理由如下：如圖，連接PB

∵AP=AP，∠BAC=∠DAC=45°，AB=AD

∴△APB≌△APD（SAS）

∴PD=PB

∵△ABC，△AFE是等腰直角三角形

∴，

∴，且∠BAP=∠FAC

∴△AFC∽△APB

∴

∴

∴