Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3的圖象與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸的交點(diǎn)為C，動(dòng)點(diǎn)T在射線AB上運(yùn)動(dòng)，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l上有一定點(diǎn)D，其縱坐標(biāo)為2，l與x軸的交點(diǎn)為E，經(jīng)過(guò)A、T、D三點(diǎn)作⊙M．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

①∠DMT的度數(shù)是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②若MT＝AD，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)T在射線EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)HT＝a，當(dāng)OH≤x≤OT時(shí)，求y的最大值與最小值（用含a的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①在點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠DMT的度數(shù)是定值②（0，）（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求得系數(shù)b的值即可；

（2）①如圖1，連接AD．構(gòu)造Rt△AED，由銳角三角函數(shù)的定義知，tan∠DAE＝．即∠DAE＝60°，由圓周角定理推知∠DMT＝2∠DAE＝120°；

②如圖2，由已知條件MT＝AD，MT＝MD，推知MD＝AD，根據(jù)△ADT的外接圓圓心M在AD的中垂線上，得到：點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)AD為⊙M的直徑時(shí)，MD＝AD．根據(jù)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)求得點(diǎn)M的坐標(biāo)即可；

（3）如圖3，作MH⊥x于點(diǎn)H，則AH＝HT＝AT．易得H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）．由限制性條件OH≤x≤OT、動(dòng)點(diǎn)T在射線EB上運(yùn)動(dòng)可以得到：0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．

需要分類(lèi)討論：（i）當(dāng)，即，根據(jù)拋物線的增減性求得y的極值．

（ii）當(dāng)，即＜a≤2時(shí)，根據(jù)拋物線的增減性求得y的極值．

（iii）當(dāng)a﹣1＞1，即a＞2時(shí)，根據(jù)拋物線的增減性求得y的極值．

解：（1）把點(diǎn)B（3，0）代入y＝x2+bx﹣3，得32+3b﹣3＝0，

解得b＝﹣2，

則該二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）①∠DMT的度數(shù)是定值．理由如下：

如圖1，連接AD．

∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1．

又∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，

∴D（1，2）．

由y＝x2﹣2x﹣3得到：y＝（x﹣3）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

在Rt△AED中，tan∠DAE＝．

∴∠DAE＝60°．

∴∠DMT＝2∠DAE＝120°．

∴在點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠DMT的度數(shù)是定值；

②如圖2，∵MT＝AD．又MT＝MD，

∴MD＝AD．

∵△ADT的外接圓圓心M在AD的中垂線上，

∴點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)AD為⊙M的直徑時(shí)，MD＝AD．

∵A（﹣1，0），D（1，2），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，）．

（3）如圖3，作MH⊥x于點(diǎn)H，則AH＝HT＝AT．

又HT＝a，

∴H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）．

∵OH≤x≤OT，又動(dòng)點(diǎn)T在射線EB上運(yùn)動(dòng)，

∴0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．

∴0≤a﹣1≤2a﹣1．

∴a≥1，

∴2a﹣1≥1．

（i）當(dāng)，即1時(shí)，

當(dāng)x＝a﹣1時(shí)，y最大值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a；

當(dāng)x＝1時(shí)，y最小值＝4．

（ii）當(dāng)，即＜a≤2時(shí)，

當(dāng)x＝2a﹣1時(shí)，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．

當(dāng)x＝1時(shí)，y最小值＝﹣4．

（iii）當(dāng)a﹣1＞1，即a＞2時(shí)，

當(dāng)x＝2a﹣1時(shí)，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．

當(dāng)x＝a﹣1時(shí)，y最小值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a．