Question

如圖，利用一面墻，用80米長的籬笆圍成一個矩形場地ABCD，設(shè)AD邊的長為x米，矩形的面積為y（平方米）．
（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）怎樣圍才能使矩形場地的面積為750平方米？能否使所圍的矩形場地面積為810平方米，為什么？

Answer 1

解：（1）∵AD=BC=xm，∴AB=80-2xm，
由題意得y=x（80-2x）
=-2x²+80x（0＜x＜40
當y=750時得：-2x²+80x=750，
解得：x₁=15x₂=25
當x=15時，AD=BC=15m，AB=50m
當x=25時，AD=BC=25m，AB=30m
∴當平行于墻面的邊長為50m，鄰邊長為15m時；
或當平行于墻面的邊長為30m，鄰邊長為25m時矩形場地面積為750m²．

（2）由題意得：-2x²+80x=810整理得：x²-40x+405=0
∵△=40²-4×405=1600-1620=-20＜0
∴方程無解，即不能圍成面積為810m²的矩形場地．
或解：將y=-2x²+80x配方得y=-2（x-20）²+800（0＜x＜40
∵a=-2＜0∴當x=20時，y有最大值800∴不能圍成面積為810m²的矩形場地．
分析：（1）AB=（籬笆長-2AD），把相關(guān)數(shù)值代入即可求解；
（2）等量關(guān)系為：AB×AD=750，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解；假使矩形面積為810，則x無實數(shù)根，所以不能圍成矩形場地．
點評：此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，不僅是一道實際問題，而且結(jié)合了矩形的性質(zhì)，解答此題要注意以下問題：（1）矩形的一邊為墻，且墻的長度不超過45米；（2）根據(jù)矩形的面積公式列一元二次方程并根據(jù)根的判別式來判斷是否兩邊長相等．