Question

已知：如圖，在⊙O中，弦CD垂直直徑AB，垂足為M，AB=4，CD=，點E在AB的延長線上，且．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）將△ODE平移，平移后所得的三角形記為△O′D′E′．求當點E′與點C重合時，△O′D′E′與⊙O重合部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出sin∠DOM，即可求出∠DOM，同樣，再利用tan∠E=，可求出∠E，那么在△DOE中，利用三角形內(nèi)角和等于180°可求出∠ODE=90°，從而DE是⊙O的切線；
（2）由∠ODE=90°，OD=2，∠E=30°，易求DE=2，在Rt△ODM中，OM=1，則AM=3，在Rt△ACM中，利用勾股定理可求AC=2，于是AC=DE=D′E′，根據(jù)題意，由平移到性質(zhì)可知△ODE≌△O′AC，那么∠O′CA=30°，∠AOF=60°，再由平移的性質(zhì)可知CF∥OA，在RT△FCD中，易求CF=2，∠CFO=∠FOC=60°，因此△FOC是等邊三角形，于是CF=OA=2，因而S_△AFO=S_△AFC，那么重合部分的面積=S_扇形AOF=π．
解答：（1）證明：連接OD．
∵弦CD⊥直徑AB，AB=4，CD=，
∴MD=CD，
∴OD==2．
在Rt△OMD中，∵sin∠DOM=，
∴∠DOM=60°，
在Rt△DME中，∵，
∴∠E=30°，
∴∠ODE=90°，
又∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．（2分）

（2）解：∵∠ODE=90°，OD=2，∠E=30°，
∴DE=，
在Rt△ODM中，OM=1，
∴AM=3，
在Rt△ACM中，由勾股定理得，AC=，
∴AC=DE=D′E′，
∵點E′與點C重合，
∴平移后的D′E′與AC重合，
交⊙O于點F，連接OF、OC、AF，
由平移的性質(zhì)得△ODE≌△O′AC，
∴∠O′CA=∠E=30°，∠AOF=2∠ACO′=60°．
由平移的性質(zhì)可知FC∥AO，
在Rt△FCD中，可求得FC=2，∠CFO=∠FOA=60°，
∴△FOC為等邊三角形，
∴FC=OA=2，
∴S_△AFO=S_△AFC，
∴．（5分）
點評：本題利用了三角函數(shù)值、切線的判定、平移的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、扇形面積計算公式、勾股定理．